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ECUACIONES

A Marcelo le han rebajado la décima parte del precio de una impresora, pero, al ir a pagar, le han cargado una décima parte en concepto de impuestos. Al final ha pagado 198 euros. ¿Sabrías calcular cuál era el precio inicial de la impresora?

LA BÚSQUEDA DE LAS INCÓGNITAS

Para plantear un problema, es conveniente dar los siguientes pasos:

1. Leer el enunciado despacio, tantas veces como sean necesarias para comprenderlo perfectamente.

2. Buscar qué nos preguntan. Generalmente, las preguntas están situadas al final del enunciado. En el problema que nos ocupa hay una única pregunta: el precio inicial de la impresora.

3. Emplear tantas letras, llamadas incógnitas, como cosas diferentes nos pregunten. En nuestro caso: x = precio inicial de la impresora.

La impresora de Marcelo.

Se llaman términos de una ecuación a cada uno de los sumandos que intervienen en ella. En nuestro ejemplo, el primer miembro tiene dos términos y el segundo, uno.

Una ecuación tiene dos miembros. Uno de ellos está situado a la izquierda del signo igual y el otro, a su derecha.

Las matemáticas tuvieron, tanto en el Egipto antiguo, como en la antigua Mesopotamia, un desarrollo asombroso. Ambos pueblos eran capaces de plantear y resolver ecuaciones. En las fotografías: izquierda, obelisco en Karnak (Egipto); derecha, la antigua ciudad mesopotámica de Mari (Siria).

PLANTEAMIENTO

Una vez localizas las incógnitas, hay que volver al principio del enunciado y separar las frases. En nuestro ejemplo hay tres ideas fundamentales:

•Le han rebajado la décima parte. Esto significa que ha pagado nueve décimas partes del precio inicial. Luego ha pagado:

•Le han cargado una décima parte, es decir: que equivale a

•Al final ha pagado 198 euros, esto es:

El grado de una ecuación es el mayor de los exponentes a los que está elevada la incógnita. La ecuación de nuestro ejemplo es de primer grado. Si el mayor exponente fuera un dos, se diría que es de segundo grado; si fuera un tres, de tercer grado y así sucesivamente.

El emperador Qin Shi Huangdi ordenó la destrucción de todos los libros de matemáticas en el año 213 a.C. Por este motivo no podemos saber con exactitud en qué momento los chinos comenzaron a trabajar con ecuaciones matemáticas.

RESOLUCIÓN

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor que hay que sustituir en la incógnita para que la igualdad se cumpla. Para alcanzar este objetivo, daremos los pasos siguientes:

1. Eliminamos los denominadores multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de dichos denominadores, en este caso cien:

2. Efectuamos las operaciones y obtenemos: 90x + 9x = 19.800.

3. Agrupamos los términos que contienen a la incógnita: 99x = 19.800.

4. Dividimos a toda la ecuación por noventa y nueve: o lo que es lo mismo: = 200 euros.

Podríamos haber pensado que, si a Marcelo le descuentan una décima parte del precio y después le cargan otra décima parte, el precio inicial y el final tendrían que ser iguales: 198 euros. Resolviendo matemáticamente el problema, hemos visto que este razonamiento intuitivo es falso.

Cuando a Marcelo le descuentan la décima parte de 200 euros, le descuentan 20 euros. La décima parte de recargo se hace pues sobre 180 euros y equivale a 18 euros. Por tanto, el descuento y el recargo no coinciden y el precio final es 180 + 18 = 198 euros.

En la India, las matemáticas fueron cultivadas por los sacerdotes, quienes aplicaban sus conocimientos geométricos para la construcción de los altares.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

En una expresión algebraica intervienen números y letras. Pero, no toda expresión algebraica es una ecuación. A la vista del problema que hemos resuelto, podemos concluir que para que una expresión algebraica sea una ecuación, tiene que cumplir una serie de condiciones:

•Tiene que contener una igualdad. Así, por ejemplo, no es una ecuación la expresión: 2x + 3a + 5.

•Tiene que contener incógnitas. Por tanto, no sería una ecuación la expresión:

•La igualdad se tiene que cumplir solamente para algunos valores de las incógnitas, llamados soluciones. Por consiguiente, la expresión: 2x + x = 3x no es una ecuación, puesto que se cumple para cualquier valor que le demos a la incógnita. Este tipo de expresiones algebraicas reciben el nombre de identidades.

Los matemáticos griegos anteriores a Diofante de Alejandría (siglo III d.C.) no empleaban el álgebra pero, gracias a su gran ingenio, llegaron a plantear y resolver ecuaciones e identidades por procedimientos geométricos. Por ejemplo, la identidad: (a + b)² = a² + b² + 2ab . En la fotografía, templo griego en Selinunte (Sicilia).

LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

El ayuntamiento de una localidad quiere destinar una parte de un terreno a la construcción de un parque rectangular. Su superficie ha de ser 60.000 m² y su perímetro, es decir, la suma de las longitudes de sus lados, 1.000 m. ¿Cuáles tienen que ser las dimensiones de dicho parque?

Para plantear este problema hay que tener en cuenta que los dos lados diferentes del rectángulo tienen que sumar 500 m, ya que constituyen juntos la mitad del perímetro. Por tanto, si llamamos x a uno de ellos, el otro será 500 – x.

Por otra parte, la superficie de un rectángulo se obtiene multiplicando sus dos dimensiones. Por consiguiente: x (500 – x) = 60.000.

Eliminando el paréntesis, obtenemos finalmente una ecuación de segundo grado: 500x – x² = 60.000.

Si dos cosas son iguales, su diferencia es cero: 500x – x² – 60.000 = 0.

La ecuación de segundo grado se suele escribir comenzando por el término de segundo grado: – x² + 500x – 60.000 = 0.

En una identidad no tiene sentido calcular el valor de las incógnitas, ya que una identidad se cumple para cualquier valor. Si intentamos hacerlo ocurre lo siguiente:

2 x + x = 3 x ⇒ 3 x = 3 x ⇒ 3 x – 3 x = 0 ⇒ 0 = 0

EVOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Una ecuación de segundo grado es una expresión que se puede reducir a la forma: Ax² + Bx + C = = 0, donde A, B y C son números reales y A no vale cero, ya que, si así fuese, la ecuación sería de primer grado.

La palabra álgebra deriva de Al-gabr, título de una obra del matemático árabe al-Hwarizmi escrita en el siglo noveno de nuestra era.

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Para obtener las soluciones de nuestro problema podemos ir tanteando con todas las parejas de números que sumen 500, hasta encontrar una cuyo producto sea 60.000, pero acabaremos mucho antes si aplicamos la fórmula:

Como en nuestro caso A = – 1, B = 500 y C = – 60.000, tendremos:

La ecuación tiene pues dos posibles soluciones:

En Europa, el álgebra se desarrolló en la época del Renacimiento, gracias sobre todo a los matemáticos italianos Tartaglia (a la izquierda) y Cardano (a la derecha) y al francés Viète.

Fachada de las Escuelas Mayores, de estilo renacentista, en Salamanca (España).

Las dos soluciones de la ecuación significan lo siguiente: como los dos lados suman 500 m, podremos orientar el parque de dos maneras.

Se llama discriminante de una ecuación de segundo grado a la expresión: B² – 4 · A · C. Según sea el discriminante, la ecuación tendrá una solución, dos o ninguna.

Discriminante	Número de soluciones	Motivo
Positivo	Dos	De la raíz cuadrada de un número positivo se obtienen dos resultados opuestos.
Cero	Una	La raíz cuadrada de cero tiene un único resultado: cero.
Negativo	Ninguna	No existe ningún número real que elevado al cuadrado dé negativo. Por tanto, en este caso, la raíz no tiene ninguna solución.