Читать книгу Matemáticas y Física & Química - Equipo Parramón Paidotribo - Страница 12

NÚMEROS REALES

Un famoso violinista tenía dos hijos también violinistas. El mayor daba conciertos, mientras que el pequeño estaba a punto de terminar sus estudios musicales. Cuando el padre se jubiló, decidió repartir sus violines entre sus hijos de la siguiente forma: al mayor le dio la mitad más medio violín. Al segundo, la mitad de los que quedaban más medio violín. Él, por su parte, se quedó con un solo violín, su preferido. Al enterarse, los hijos pensaron que su padre estaba de broma. ¿Qué iban a hacer con medio violín?

EL SALTO DE MARÍA

María practica el salto de longitud. En uno de sus intentos ha logrado saltar 6,59 metros. Esto significa que ha saltado más de seis metros. Para precisar más, dividimos el séptimo metro en diez partes y vemos que el salto supera la quinta división. Volvemos a dividir en diez partes. Observamos que el salto equivale a la suma de seis metros más cinco décimas más nueve centésimas.

FRACCIONES DECIMALES

Los números decimales son una creación colectiva en la que se emplearon cientos de años y que culminó Stevin en el siglo XVI al introducir las fracciones decimales, es decir, las fracciones cuyo denominador es una potencia de diez.

Al dividir una unidad en	Se obtiene	Equivale a
Diez partes iguales	La décima
Cien partes iguales	La centésima
Mil partes iguales	La milésima
De la misma forma podemos obtener la diezmilésima, la cienmilésima, la millonésima, etc.

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES

Volvamos al enigma del padre violinista. Si lo pensamos detenidamente, descubriremos que no estaba de broma, sino que poseía siete violines. Entonces, la mitad son 3,5 violines, es decir, tres violines y medio. Al hijo mayor le corresponden: 3,5 + 0,5 = 4. El resto son: 7 – 4 = 3, la mitad son 1,5. El hijo pequeño hereda: 1,5 + 0,5 = 2. El padre se queda uno. Entonces: 4 + 2 + 1 = 7.

Para sumar o restar números decimales hay que colocarlos de manera que las comas coincidan.

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, tenemos que correr la coma hacia la derecha una posición por cada uno de los ceros. Si se acaban las cifras decimales, añadiremos ceros a la derecha.

Para multiplicar dos números decimales cualesquiera efectuamos la operación como si fueran enteros y después colocamos en el resultado tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores juntos.

MULTIPLICACIÓN

Una empresa importadora ha comprado 1.000 televisores y ha pagado 717,32 euros por cada uno. Para calcular el coste total, efectuamos la siguiente multiplicación:

717,32 · 1.000 = 717.320 euros.

Las calculadoras electrónicas (abajo, derecha) nos facilitan mucho la realización de operaciones con números decimales.

DIVISIÓN

En una ciudad de un millón de habitantes se consumen diariamente 98.345 litros de leche. Para calcular la cantidad de leche que toma cada habitante por término medio, efectuamos la siguiente

Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, tenemos que correr la coma hacia la izquierda una posición por cada uno de los ceros. Si se acaban las cifras del número, añadiremos a la izquierda los ceros que sobren en el denominador.

Para dividir dos números decimales cualesquiera, comenzamos multiplicando al dividendo y al divisor por la unidad seguida de los ceros necesarios para conseguir que el divisor se convierta en un número entero; después, efectuamos la división y, al bajar la primera cifra decimal del dividendo, colocamos la coma en el cociente.

NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS

Supongamos que la superficie de un campo de fútbol mide 87 decámetros cuadrados. Supongamos también que cada uno de los 22 jugadores defiende la misma cantidad de terreno. Para calcular la parcela que le toca a cada uno, efectuamos la división. Vemos que los restos se repiten y, en consecuencia, también se repiten los cocientes. El resultado es pues: 3,9545454..., que se suele escribir con un pequeño arco sobre las cifras que se repiten: Este tipo de números se denominan números periódicos mixtos y constan de una parte entera, un anteperíodo y un período.

UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL

Se llama así a la fracción tal que, al efectuar la división de su numerador entre su denominador, da origen al número decimal.

Para encontrar la fracción generatriz se resta la parte entera seguida del anteperíodo y de un período, menos la parte entera seguida del anteperíodo y se divide el resultado entre tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Por ejemplo:

Si el número no tiene anteperíodo se dice que es periódico puro. Su fracción generatriz se calcula omitiendo la parte referente al anteperíodo:

Si al efectuar una división llega un momento en el que se obtiene de resto cero, el número decimal no tendrá infinitas cifras decimales y se llamará número decimal exacto. Su fracción generatriz se puede calcular considerando que es equivalente a un número decimal periódico con período cero:

Construcción de un cuadrado C₂ que tiene doble superficie que otro C₁. El lado de C₂ coincide con la diagonal de C₁. Un cuadrado contiene dos triángulos rectángulos iguales y el otro cuatro. Por tanto, hemos doblado la superficie. Supongamos que el lado del cuadrado pequeño mide un metro. Si aplicamos el teorema de Pitágoras a cualquiera de los triángulos rectángulos, obtendremos el número irracional

El número áureo se ha utilizado mucho en el mundo del arte y del diseño, pues las proporciones basadas en él resultan especialmente armoniosas. En la imagen: Hombre vitrubiano, célebre dibujo de Leonardo da Vinci en el que estudia las proporciones ideales del cuerpo humano.

El pentagrama era el símbolo de la escuela pitagórica. Se trata de un pentágono en el que se inscribe una estrella formada por las cinco diagonales.

NÚMEROS IRRACIONALES

Consideremos los números siguientes:

•3,03003000300003... Se trata de un número con infinitas cifras decimales, pero que ¡no es periódico!

•El resultado de efectuar una raíz no exacta, como por ejemplo = 1,4142… Sus cifras decimales se repiten, pero no de forma periódica, sino al azar.

•El resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre la longitud de su diámetro, es un número al que designamos habitualmente con la letra griega π y cuyo valor es: π = 3,14159…

La conclusión es clara: los números racionales no son suficientes si deseamos efectuar todas las operaciones habituales, en particular la radicación. Necesitamos introducir un nuevo conjunto de números con infinitas cifras decimales no periódicas, a los que llamaremos irracionales.

EL NÚMERO ÁUREO

Históricamente hablando, el primer número irracional conocido fue el número cuyo valor es: 1,6180339…

Se obtiene al dividir las longitudes de la diagonal de un pentágono regular y el lado del mismo.

El teorema de Pitágoras permite dibujar en la recta algunos números irracionales. Para representar el número por ejemplo, tomamos tres unidades. A continuación, en una recta perpendicular, tomamos dos. Finalmente, utilizando un compás, trasladamos a la recta la longitud AB, que mide:

LOS NÚMEROS REALES