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FUNCIONES Y GRÁFICAS

Laura está realizando sus estudios y, con el fin de ganar algún dinero, compagina esta actividad con la de canguro. Cada hora que está cuidando niños cobra cinco euros. Sin duda existe una relación entre el número de horas trabajadas y la cantidad de euros cobrados. Podemos expresar entonces el dinero que gana Laura, medido en euros, en función del tiempo trabajado, medido en horas.

VARIABLES Y FÓRMULAS

Para representar la relación existente entre dos cosas, empleamos dos variables, es decir, dos letras en las que podemos sustituir números. Una, en nuestro ejemplo las horas trabajadas, se llama variable independiente y se representa generalmente con la letra x. La otra, que se representa con la letra y, recibe el nombre de variable dependiente. En nuestro caso es el dinero que Laura ha cobrado y que depende de la cantidad de horas trabajadas.

Utilizando estas dos variables, podemos traducir la expresión que define la función: «cada hora que está cuidando niños cobra cinco euros» a una fórmula matemática: y = 5x.

RELACIONES Y FUNCIONES

Una relación entre dos cosas será una función siempre que cumpla dos condiciones:

•Ambas se tienen que poder expresar con números reales.

•A cada valor de la variable independiente le tiene que corresponder un único valor de la variable dependiente. Así, por ejemplo, si Laura ha trabajado tres horas, tiene que cobrar quince euros y no puede cobrar ninguna otra cantidad.

LA FÓRMULA DE LA FUNCIÓN

El término función fue utilizado por primera vez por el filósofo y matemático alemán G.W. Leibniz, en 1673.

La fórmula de la función también puede escribirse así: f (x) = 5x. El matemático suizo Leonhard Euler ideó el símbolo f (x) en 1748. Para expresar, por ejemplo, que Laura ha trabajado tres horas y ha cobrado 15 euros, escribimos lo siguiente: f (3) = 5 · 3 = 15.

El filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).

Laura se paga sus estudios haciendo de canguro.

TABLAS DE VALORES

También se puede definir una función por medio de una tabla que relacione los valores de la variable independiente con los valores de la variable dependiente. Una tabla puede expresar, por ejemplo, los beneficios obtenidos por una empresa de automóviles. Los valores de la variable x corresponden al tiempo, medido en años, tomando como origen el año 2000. De esta manera el cero es el año 2000, el –2 es el año 1998 y el 3 es el 2003. Los valores de la variable y corresponden a las ganancias de la empresa o a sus pérdidas, si el valor es negativo. El par formado por el cero y el –4, por ejemplo, indica que el año 2000 la empresa tuvo unas pérdidas de 4 millones de euros.

Para poder dibujar la gráfica de una función, tenemos que disponer de un sistema de ejes de coordenadas. Se trata de dos rectas perpendiculares. La horizontal se llama eje de abscisas y la vertical, eje de ordenadas.

Los matemáticos de la antigua Mesopotamia ya usaban tablas de valores. Se han encontrado algunas del siglo IV a.C. que contienen datos que se utilizaban en astronomía.

Dibujo del primer par de valores de la tabla, formado por el –3 y el 5.

Al unir entre sí los puntos correspondientes a los valores de la tabla, se forma la gráfica de la función.