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LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Santiago quiere comprar una parcela cuadrada para construir una casa. Según la normativa municipal, no se puede edificar a menos de diez metros de las lindes este y oeste, que dan a dos calles, ni a menos de cinco metros de las lindes norte y sur, que limitan con las parcelas vecinas.

Para expresar la superficie del rectángulo construible, y, en función de la longitud del lado de la parcela, x, hay que tener en cuenta que el área de un rectángulo se calcula multiplicando sus dos lados diferentes: y = (x – 20)(x – 10). Multiplicando, obtenemos: y = x² – 10x – 20x + 200, es decir: y = x² – 30x + 200.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Se llama función de segundo grado o función cuadrática a una función del tipo y = Ax² + Bx + C, donde A es un número real distinto de cero. En nuestro caso tenemos A = 1, B = –30, C = 200.

Para obtener la gráfica de la función, construimos una tabla de valores y unimos los puntos correspondientes. Vemos que se trata de una parábola. El valor mínimo de la y es –25 y se obtiene cuando x vale 15. Se dice que el punto (15, –25) es el vértice de la parábola.

El terreno que quiere comprar Santiago.

Matemáticamente hablando, el dominio de la función y = x² – 30x + 200 se extiende a todos los números reales, pero su recorrido se reduce a los números superiores o iguales a –25. Ahora bien, cuando aplicamos esta función al caso concreto de la parcela, el dominio se reduce a los valores superiores a 20, puesto que si el lado de la parcela fuera menor que 20, al restarle 20 metros, resultaría que el lado del rectángulo construible sería negativo, lo cual no tiene sentido.

La abscisa del vértice de una parábola se puede calcular con la expresión: en nuestro caso,

Los puntos de corte de la gráfica de la función y = Ax² + Bx + C con el eje horizontal son aquellos cuya ordenada es cero. Resulta entonces una ecuación de segundo grado: 0 = Ax² + Bx + C, que puede tener dos soluciones, una o ninguna, según sea el discriminante.

discriminante negativo

discriminante cero

discriminante positivo

El vértice de la parábola es: Esto significa que el momento más indicado para vender es al cabo de 22 semanas de la recolección, momento en el que se obtendrán 1.505.280 euros por la venta de las naranjas.

Forma de la parábola según que el coeficiente A del término x² sea negativo o positivo.

EL PROBLEMA DEL ALMACENAMIENTO

Una cooperativa agraria ha recolectado 800 toneladas de naranjas que puede vender actualmente a 720 euros la tonelada, obteniendo 576.000 euros. La cooperativa ha calculado que, si almacena las naranjas, cada semana se estropearán 16 toneladas, pero, en cambio, el precio de la tonelada aumentará 120 euros. ¿Cuál es el momento más indicado para vender las naranjas?

Llamemos x a las semanas transcurridas desde la recolección. Entonces:

•Peso de las naranjas en buen estado: 800 – 16x toneladas.

•Precio de la tonelada de naranjas: 720 + 120x euros.

Llamemos y al dinero que se obtendrá con la venta. Se calculará multiplicando el precio de cada tonelada por la cantidad de toneladas: y = (800 – 16x)· ·(720 + 120x). Multiplicando, obtenemos la función cuadrática: y = – 1.920x² + + 84.480x + 576.000. Para dibujar la gráfica de la función, construimos una tabla de valores y unimos los puntos correspondientes.

A negativo

A positivo