Читать книгу Pandenomics - Javier Milei - Страница 14

Una forma de entender la propagación de infecciones es a través de la modelación matemática de las epidemias. Daniel Bernoulli en 1760, fue uno de los primeros en desarrollar un modelo matemático para evaluar el efecto de vacunar a la población contra la viruela. El desarrollo de modelos matemáticos de epidemias tuvo un gran progreso a principios del siglo XX. Tal vez se deba a los contagios que azotaron a la población mundial a principios del siglo pasado, entre las cuales destaca la epidemia de influenza de 1918-1920 que mató a 39 millones de personas. Actualmente existe una gran cantidad de modelos que describen tanto a la dinámica de crecimiento del contagio como de su propagación geográfica. Hoy la literatura al respecto es muy extensa. Por ej., el libro de Brauer (2008) muestra que el campo de la epidemiología matemática es muy activo y que los modelos epidemiológicos siguen progresando.

En este sentido, el objetivo del presente apartado es exponer un modelo muy simple de la dinámica de epidemias elaborado por el bioquímico William Ogilvy Kermack y por el teniente coronel Anderson Gray McKendrick (1927, 1933). A su vez, vale la pena destacar que uno de los resultados fundamentales de la mayoría de esta familia de modelos, es exhibir un umbral en su comportamiento a partir del cual el número de contagiados por la infección disminuirá por sí mismo o bien a partir del cual se convertirá en una epidemia.

En el modelo SIR, como en todo modelo matemático de algún fenómeno natural, se requiere incluir en él condiciones que representen, a grandes rasgos, los mecanismos involucrados. En el caso del desarrollado por Kermack y McKendrick (1927, 1933) se divide en tres clases:

(i) el número de los individuos susceptibles S(t), es decir aquellos individuos que pueden contagiarse;

(ii) los infecciosos I(t), aquellos individuos que al estar enfermos pueden transmitir la enfermedad;

(iii) los removidos R(t), aquellos individuos que luego de haberse enfermado se alivian y quedan en un estado de inmunidad o bien están aislados en algún sitio (como un hospital) o fallecieron.

De este modo, el escenario que se le presenta a un individuo descrito por el modelo SIR estándar será:

S → I → R

El modelo presenta los siguientes postulados:

a) En la epidemia, una sola infección es la responsable de ocasionar un proceso infeccioso en el huésped.

b) El desenlace de la enfermedad es la muerte o la inmunidad completa.

c) La tasa de contagio c(t) es proporcional al número de enfermos: c(t) = a.I(t), siendo a > 0 constante.

d) Número de individuos susceptibles que se contagian por unidad de tiempo está dado por c(t).S(t), por lo tanto, la cantidad de personas que se contagian por unidad de tiempo es:

a.I(t).S(t) con a>0

En otras palabras el número de susceptibles S(t) al trascurrir un tiempo Δt será:

S(t+∆t)=S(t)-a.I(t).S(t).∆t (1)

e) Todos los individuos sanos son susceptibles.

La población es cerrada para cualquier tiempo S + I + R = N. Es decir, no se toman en cuenta nacimientos ni migraciones.

El periodo de incubación que contempla el modelo más general de Kermack y McKendrick es muy corto. El individuo susceptible se enferma y puede contagiar a otro.

La velocidad de decremento de infectados es proporcional a su número. En términos matemáticos:

b.I(t) con b>0

donde b es la razón de removidos por unidad de tiempo y es constante. Esto es, el número de infecciosos I(t) al trascurrir un tiempo Δt será:

I(t+∆t)=I(t)+a.I(t).S(t).∆t-b.I(t).∆t (2)

y el de removidos R(t) al transcurrir un tiempo Δt será:

R(t+∆t)=R(t)+b.I(t).∆t (3)

El modelo supone además que los individuos de todas las clases están mezclados y entran en contacto (excepto los que están aislados en hospitales y los muertos). Al tomar estas condiciones y al usar variables normalizadas en función del número total de la población, N:

s ≡ S ⁄ N, i ≡ I ⁄ N, r ≡ R ⁄ N

Por lo que entonces, el modelo estará descripto por el conjunto de las siguientes ecuaciones diferenciales, que resultan del sistema dinámico dado por las tres relaciones dinámicas indicadas por (1), (2) y (3). Así, la ecuación (4) indicará la velocidad a la que disminuye el número de susceptibles, debido a que se están infectando, de acuerdo con el postulado (d):

ds ⁄ dτ = -s(τ).i(τ) (4)

A su vez, la ecuación (5) nos presenta la velocidad a la que se incrementan los infecciosos de acuerdo con los postulados (d) y (h):

di ⁄ dτ = s(τ).i(τ)-ρ.i(τ) (5)

En último lugar, la velocidad de incremento de los removidos está contemplada en la ecuación (6) de acuerdo con el postulado (h):

dr ⁄ dτ = ρ.i(τ) (6)

donde la constante:

ρ = b ⁄ a.N

es la razón de los removidos a los infectados, mientras que la variable temporal:

τ ≡ N.a.t

arroja el tiempo en unidades del periodo de infección.

La formulación matemática del modelo epidemiológico se completa fijando las condiciones iniciales del sistema, por ejemplo al tiempo τ = 0, que marca el inicio de la epidemia:

s (τ=0) = s₀ > 0

i (τ=0) = i₀ > 0

r (τ=0) = r₀ = 0

Éste es un modelo muy rudimentario, al cual se le han hecho algunas modificaciones a lo largo del tiempo, adecuándolo a situaciones específicas. Algunos modelos han relajado las condiciones señaladas arriba con los postulados (e) y (h) al introducir dinámicas más complicadas. Por ej. el periodo latente del HIV es muy variable. Hay enfermos que manifiestan sus primeros síntomas pocos años después de haber sido infectados, algunos nunca. En una epidemia muy larga como el SIDA los hijos de padres infectados como no infectados alteran el número total de pobladores. Esto último no está contemplado en el modelo original ya que lleva implícito conservar la población. Simplemente la suma de las tres ecuaciones diferenciales en (4), (5) y (6) es igual a cero, así:

s(τ) + i(τ) + r(τ) = 1

donde la unidad representa el total de la población, esto es, la suma de susceptibles, infectados y removidos es constante. Otras variaciones al modelo SIR contemplan casos de epidemias donde la población de susceptibles es heterogénea, ya que pueden integrarla también niños y ancianos. Mollison (1995) detalla más sobre las modificaciones al modelo SIR. Sin embargo, aun cuando el modelo estándar es muy elemental, permite hacer algunos señalamientos relevantes sobre las epidemias.

A su vez, una de las características de las ecuaciones diferenciales que representan al modelo SIR, si bien no tienen una solución analítica, es posible encontrar soluciones numéricas. En el gráfico que se presenta a continuación nos muestra la solución numérica sobre cómo evolucionan las tres variables del modelo SIR para un caso de epidemia, donde se observa que el número de infectados aumenta hasta un máximo y después decrece.

EVOLUCIÓN TÍPICA DE LAS VARIABLES SIR EN UNA EPIDEMIA

Sin embargo, sin necesidad de recurrir a métodos numéricos, inferimos algunas de las características cualitativas de las soluciones. Para comenzar, el modelo sólo tiene sentido si las funciones s(τ) e i(τ) se mantienen no negativas porque representan un número de personas de alguna de las dos clases. En otras palabras, si alguna de las dos funciones alcanza el valor 0, el sistema termina, es decir, con cero susceptibles o cero infecciosos.

Subrayamos además que el número de susceptibles disminuye todo el tiempo en el modelo, esto es, ds/dτ < 0. Asimismo, observamos que para que exista una epidemia debe cumplirse que el número de infecciosos i(τ) al inicio aumente con el tiempo. Queremos remarcar que por epidemia se entiende que i(τ) > i₀ para algún tiempo τ. En términos matemáticos, hay epidemia si di/dô > 0 y esto ocurre si y sólo si s > ñ (véase ecuación 5). Sin embargo, acabamos de mencionar que s disminuye todo el tiempo, por lo que en algún momento la desigualdad se puede invertir y causaría que ahora di / dτ < 0: el número de infecciosos disminuirá con el tiempo. En pocas palabras, eventualmente se acaba la epidemia. La discusión anterior significa que existe un umbral, dentro del modelo, que determina si se desarrolla o no epidemia.

Ahora, si un pequeño número de infectivos entra en contacto con una comunidad de susceptibles, nos preguntamos si es posible que se desate una epidemia. Con este propósito el modelo define una cantidad umbral llamada número básico de reproducción R₀ igual a s₀/ñ, que puede determinar la respuesta. Es fácil ver en la ecuación (5), que si R₀ < 1 la infección se acaba, pero si R₀ > 1, ocurre una epidemia, su magnitud será determinada por el valor R₀. En caso de que se desarrolle, el número de infectados llegará a un máximo, después del cual disminuirá. Para visualizar el comportamiento del sistema de ecuaciones diferenciales (4), (5) y (6) examinaremos trayectorias en un plano de fase sencillo (i versus s). Para este propósito eliminaremos de dicho sistema la dependencia en el tiempo y dividiremos la ecuación (4) entre la (5) para obtener:

di ⁄ ds = -1 + ρ ⁄ s (7)

VARIACIÓN DE INFECTADOS EN RELACIÓN A SUSCEPTIBLES, DONDE VARÍA S₀ Y ρ FIJO

Cabe notar que todas las singularidades aparecen en di / ds = 0, es decir, en s = ρ. Al integrar obtenemos las trayectorias en el plano (i, s):

i - i₀ = s - s₀+ ρ.ln (s ⁄ s₀ ) (8)

A su vez, para fijar la constante de integración, hemos utilizado las condiciones iniciales. Las trayectorias en el plano de fase se muestran esquematizadas en la gráfica que se ha presentada arriba. La línea recta inclinada muestra la condición inicial caracterizada por r₀ = 0, donde no hay removidos. De este modo, si la epidemia se presenta, sería bueno saber qué tan severa será. Usamos la condición di/dτ = 0 para encontrar el punto crítico, el cual ocurre en s = ρ, que corresponde al máximo de infectados, i_max. Al usar la ecuación (8) para las trayectorias de fase y al hecho de que el número de removidos es nulo inicialmente, tenemos:

i_max = ρ.ln (ρ ⁄ s₀ ) - ρ + 1

que nos determina el número máximo de infectados a un cierto tiempo si conocemos el número inicial de personas susceptibles y el parámetro ñ. Cuando s₀ < ρ disminuyen los infectados y la epidemia acontece. En caso contrario, la epidemia comienza y el número de infectados evoluciona hasta un máximo en s = ρ, y después decrece. La línea vertical de la gráfica muestra los máximos de las curvas de los infectados, la cual separa las curvas tipo epidemia (lado derecho) de las no epidemias (lado izquierdo).

El proceso de infección evoluciona a partir de la línea recta inclinada, puede aumentar o disminuir el número inicial de infectados. La línea vertical separa las condiciones iniciales de epidemia (derecha) y no epidemia (izquierda), además señala el valor máximo de infectados que puede tener la población.