Читать книгу Organización industrial - Martin Peitz - Страница 46

Consideramos un mercado de productos homogéneos con n empresas, donde la empresa i fija qi. La producción total es entonces q = q₁ + ··· + qn. El precio de mercado está dado por la demanda inversa lineal P(q) = a − bq (con a, b > 0). Supongamos también que las funciones de costos son lineales: Ci (qi) = ci qi (con 0 ≤ ci < a ∀i = 1, …, n). Primero resolvemos el modelo en el caso más general, para cualquier número potencial de empresas heterogéneas (ci ≠ cj para cualquier i ≠ j). Luego usamos este análisis general en dos casos específicos: un duopolio (n = 2) y un oligopolio simétrico (ci = c∀i).

Oligopolio de Cournot con empresas heterogéneas

Denotemos mediante q₋ i ≡ q − qi la suma de las cantidades producidas por todas las empresas menos la empresa i. Entonces la demanda inversa puede resescribirse como

Como la empresa i conjetura que las otras empresas no modificarán su decisión sobre la cantidad, independientemente de lo que ella misma decida producir (esto se conoce como la conjetura de Cournot), la función di (qi; q_– i) puede verse como la demanda residual que enfrenta la empresa i. Claramente, si la empresa i espera que la cantidad total de las otras empresas se incremente, enfrenta una demanda residual más baja, como lo ilustra la figura 3.2.

Figura 3.2 Demanda residual para un oligopolista de Cournot

De acuerdo con esto, entonces la empresa i producirá una cantidad menor. A continuación, confirmamos esta intuición analíticamente. La empresa i escoge qi para maximizar sus beneficios πi = (a − b (qi + q_−i)) qi − ciqi, que también pueden escribirse como di (qi; q₋i) qi − ciqi, lo que significa que la empresa i actúa como un monopolista en su demanda residual. La condición de primer orden de la maximización de beneficios se expresa como

O, resolviendo para qi, como

La expresión (3.4) proporciona la función de mejor respuesta (o reacción) de la empresa i. Verificamos que la función de mejor respuesta tiene pendiente descendente: ante una mayor producción de las empresas rivales (un mayor q_–i), la empresa i reacciona de manera óptima disminuyendo su propia cantidad (qi (q_–i) disminuye). Esto se ilustra abajo, para el caso del duopolio, en la figura 3.3.

Figura 3.3 Duopolio de Cournot

En el equilibrio de Cournot, la Ecuación (3.4) se cumple para cada una de las n empresas. En otras palabras, cada empresa “produce su mejor respuesta” ante las decisiones de las otras empresas. Sumando las ecuaciones (3.4) para las n empresas, obtenemos

Por definición, ∑i qi = q y se entiende fácilmente que ∑iq_–i = (n – 1) q. Si denotamos ∑i ci mediante C, podemos reescribir la ecuación anterior como

Si introducimos q^* (esto es, la cantidad total producida en el equilibrio de Cournot) en la ecuación (3.4), encontramos la cantidad que la empresa i produce en el equilibrio de Cournot (donde C_–i ≡ ∑j_≠i cj):

Evaluada en el equilibrio, la condición de primer orden (3.3) puede reescribirse como De esto se sigue que los beneficios de equilibrio de la empresa i se calculan como^[15]

Observamos que disminuye con ci y aumenta con c_–i, lo que nos permite formular la siguiente lección.

Lección 3.5 En el modelo lineal de Cournot con productos homogéneos, los beneficios de equilibrio de una empresa aumentan cuando la empresa se vuelve relativamente más eficiente que sus rivales (esto es, todo lo demás constante, cuando sus costos marginales descienden o cuando los costos marginales de cualquiera de sus rivales aumentan).

En el análisis anterior estaba implícito el supuesto de que el equilibrio es interior, en el sentido en que todas las empresas consideran óptimo estar activas en equilibrio. Esto es así si, para todas las empresas i, se tiene que que es equivalente a ci ≤ (1/n)(a + C_–i). Si ordenamos a las empresas según sus costos marginales (ci ≤ ci₊₁, i = 1, …, n – 1), la última desigualdad es la más estricta para la empresa n. Por lo tanto, lo que dice la condición para un equilibrio interno es que la empresa menos eficiente no puede ser “demasiado ineficiente” en comparación con las empresas rivales (es decir, su costo marginal debe ser lo suficientemente bajo).

Duopolio de Cournot

Con el fin de ilustrar los resultados previos, tanto analítica como gráficamente, analizaremos brevemente de nuevo el caso del duopolio. Utilizando la expresión (3.4), podemos escribir el sistema de funciones de reacción:

La solución de este sistema proporciona las siguientes cantidades de equilibrio de Nash:

Dejaremos que el lector calcule los beneficios de equilibrio y verifique que correspondan a la fórmula general dada por la expresión (3.6). Si suponemos que c₁ ≤ c₂, la condición para un equilibrio interno es c₂ ≤ (a + c₁)/2.^[16]

La figura 3.3 ilustra claramente nuestros resultados. Primero, se muestra que las funciones de reacción de las dos empresas tienen pendiente descendente. Segundo, el supuesto según el cual c₁ < c₂ implica que en equilibrio la empresa 1 produce una cantidad mayor (y logra beneficios más altos) que la empresa 2. Tercero, con c₁ constante, observamos que la desventaja de la empresa 2 se amplía cuando sus costos marginales aumentan de la función de reacción de la empresa 2 se desplaza hacia abajo y el equilibrio se mueve hacia arriba a lo largo de la función de reacción de la empresa 1. La empresa 2 sigue activa (esto es, ) en la medida en que el intercepto vertical de la función de reacción de la empresa 2 esté por encima del intercepto vertical de la función de reacción de la empresa 1, o que es equivalente a

Oligopolio simétrico de Cournot

Más adelante en este libro, con frecuencia supondremos para simplificar que las empresas son simétricas ex ante en la medida en que todas tienen la misma estructura de costos. En el caso de costos marginales constantes, esto implica suponer que ci = c para todo i. Luego, usando la expresión (3.5), obtenemos la cantidad producida por cualquier empresa en el equilibrio de Cournot como

La cantidad total y el precio de mercado son iguales a

Se sigue que el margen de ganancia (o índice de Lerner) en el equilibrio del modelo de Cournot (lineal simétrico) es igual a

Si dejamos que aumente el número de empresas (n), obtenemos los siguientes resultados de estática comparativa: (i) la cantidad individual disminuye; (ii) la cantidad total aumenta; (iii) el precio de mercado disminuye; (iv) el margen de ganancia disminuye. Además, si dejamos que el número de empresas tienda a infinito, observamos que el margen de ganancia tiende a cero, lo que significa que el poder de mercado se desvanece.

Lección 3.6 El modelo de Cournot (lineal simétrico) converge a competencia perfecta a medida que aumenta el número de empresas.

La idea detrás de este resultado es sencilla: a medida que el número de empresas aumenta, cada empresa ve que su influencia en el precio de mercado disminuye y, por lo tanto, está más dispuesta a expandir su producción. Como resultado, el precio de mercado disminuye a medida que aumenta el número de competidores de Cournot. Se puede mostrar que este resultado sigue siendo válido en contextos más generales que el más específico aquí considerado.^[17]