Читать книгу Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau - Matthias Krauß - Страница 25

Die Vorgehensweise bei der FEM unter Verwendung des Weggrößenverfahrens ist für die lineare Theorie in Tabelle 2.1 zusammengestellt. Es spielt dabei keine Rolle, ob es sich um Stab-, Scheiben-, Platten- oder Schalenelemente handelt, mit denen das baustatische System diskretisiert wird. Unabhängig von den verwendeten Elementtypen ergibt sich stets der gleiche Ablauf für die Berechnungen, so dass mit ein und derselben Methodik zahlreiche Aufgabenstellungen gelöst werden können. Ein weiterer Vorteil ist die stark schematische Vorgehensweise, die keine individuellen Entscheidungen erfordert, da lediglich geeignete finite Elemente und eine sinnvolle Elementierung gewählt werden müssen.

In Tabelle 2.1 wird davon ausgegangen, dass unter Punkt 2 alle Elementsteifigkeitsmatrizen berechnet und abgespeichert werden, da sie unter Punkt 9 erneut zur Schnittgrößenermittlung benötigt werden, und dass sie erst unter Punkt 4 nach Abschluss von Punkt 2 eingeordnet werden. Diese Darstellungsweise ist für das Verständnis vorteilhaft, entspricht aber nicht dem üblichen Vorgehen. In der Regel werden die einzelnen Elementsteifigkeitsmatrizen berechnet und unmittelbar ohne Speicherung in die Gesamtsteifigkeit eingeordnet. Für die Schnittgrößenermittlung gemäß Punkt 9 werden sie dann erneut berechnet. Der hier beschriebene Ablauf für die Elementsteifigkeitsmatrizen wird in analoger Weise auch bei den elementbezogenen Lastgrößen verwendet, s. Punkte 3, 5 und 9.

Tabelle 2.1 Vorgehensweise beim Weggrößenverfahren (lineare Theorie)

Nr.	Tätigkeit	Einzelheiten
1	Baustatisches System in Elemente aufteilen	Bild 2.1b
2	Für jedes Element:Elementsteifigkeitsmatrix berechnen	Abschn. 3.2
3	Für jedes Element:Belastungen, die innerhalb der Elemente wirken, in äquivalente Knotenlasten umrechnen (Elementlastvektor)	Abschn. 3.2
4	Elementsteifigkeitsmatrizen transformieren und in die Gesamtsteifigkeitsmatrix einordnen	Abschn. 3.4, Bild 2.4 Abschn. 3.5.2, Bild 2.5
5	In den Knoten angreifende Lastgrößen und Knotenlasten gemäß Punkt 3 in den Gesamtlastvektor des Systems einordnen	Abschn. 3.5.3, Bild 2.5
6	Gegebenenfalls Federn, Schubfelder und Gelenke berücksichtigen	Abschn. 3.10, 3.11, Bild 2.5
7	Geometrische Randbedingungen (Auflager, Einspannungen, usw.) in der Gesamtsteifigkeitsmatrix und im Gesamtlastvektor berücksichtigen	Abschn. 3.5.4
8	Als Ergebnis der Punkte 4 bis 7 ergibt sich das Gleichungssystem: Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man die Verformungen des Systems in den Knoten.	Abschn. 3.6 Kapitel 8
9	Für jedes Element: Berechnung der Schnittgrößen in den Knoten mit den Elementsteifigkeitsbeziehungen (Steifigkeitsmatrizen gemäß Pkt. 2 und Lastvektoren gemäß Pkt. 3) und den nunmehr bekannten Knotenverformungen (s. Pkt. 8)	Abschn. 3.7
10	Für jedes Element: Gegebenenfalls Berechnung der Schnittgrößen im Elementinneren mithilfe der Formfunktionen	Abschn. 3.7

Für Berechnungen nach Theorie II. Ordnung wird ebenfalls gemäß Tabelle 2.1 vorgegangen und das System zunächst nach Theorie I. Ordnung analysiert (1. Durchlauf). Anschließend wird nochmals bei Punkt 2 begonnen und es werden nun zusätzlich geometrische Elementsteifigkeitsmatrizen berechnet, für die die Schnittgrößen aus Punkt 9 der 1. Berechnung, also nach Theorie I. Ordnung, benötigt werden. In diesem 2. Durchlauf wird unter Punkt 4 zusätzlich eine geometrische Gesamtsteifigkeitsmatrix erzeugt, so dass die Matrix des Gleichungssystems gemäß Punkt 8 nun aus zwei Matrizen

(2.6)

besteht. Die Matrix gehört zur linearen Theorie und repräsentiert die Steifigkeit des Systems. enthält die Zusatzanteile für Theorie II. Ordnung. Auf die Berücksichtigung von Vorverformungen bzw. geometrischer Ersatzimperfektionen wird in Abschnitt 4.7 und auf die Berechnung der Schnittgrößen in Abschnitt 4.8 ausführlich eingegangen.

Bei Eigenwertproblemen ist prinzipiell ebenfalls die beschriebene Vorgehensweise wie für Berechnungen nach Theorie II. Ordnung durchzuführen. Im 2. Durchlauf entfällt jedoch der Lastvektor gemäß Pkt. 5, und es wird mit das Eigenwertproblem

(2.7)

formuliert. Gl. 2.7 bildet den Ausgangspunkt für die Ermittlung des „Verzweigungslastfaktors“ α_cr (Eigenwert) und der Eigenform . In der Regel werden der kleinste positive Eigenwert und die zugehörige Eigenform gesucht. Die Lösung von Eigenwertproblemen wird im Kapitel 9 behandelt, s. auch Abschnitte 4.9 und 4.10.