Читать книгу Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau - Matthias Krauß - Страница 29

Wie in den vorherigen Abschnitten bereits erwähnt, wird die virtuelle Arbeit zur For-mulierung des Gleichgewichts und der Elementsteifigkeitsmatrizen verwendet. Diffe-rentialgleichungen sind daher hier von nachrangiger Bedeutung. Andererseits erleich-tern sie das Verständnis für die mechanischen und baustatischen Zusammenhänge und sollen insbesondere zur Beurteilung der Ansatzfunktionen für die Verformungen (Abschnitt 2.5) herangezogen werden. In [12] werden die Differentialgleichungen für die lineare Stabtheorie ausführlich hergeleitet. Dabei werden die virtuelle Arbeit, die Definition der Schnittgrößen und die am differentiellen Stababschnitt formulierten Gleichgewichtsbedingungen verwendet. Darüber hinaus gehen die nach der Elastizitätstheorie berechneten Spannungen σ_x und τ ein. Tabelle 2.3 enthält eine Zusammenstellung der Differentialgleichungen aus [12] für die lineare Stabtheorie, s. auch Tabelle 1.3.

Tabelle 2.3 Differentialgleichungen der linearen Stabtheorie (zweiachsige Biegung mit Normalkraft und Torsion)

„Normalkraft”	„Biegung um die z-Achse”	„Biegung um die y-Achse”	„Torsion”
mit: Elastizitätsmodul E, Schubmodul G, Querschnittsfläche A, Hauptträgheitsmomente Iy und Iz, minimaler Wölbwiderstand Iω, Torsionsträgheitsmoment IT

Bei Berechnungen nach Theorie II. Ordnung und zur Stabilität (Eigenwerte) ergeben sich erweiterte Differentialgleichungen. Nach [26] erhält man folgende Beziehungen zwischen Verschiebungs- und Lastgrößen:

(2.13a)

(2.13b)

(2.13c)

(2.13d)

Mrr: siehe Tabelle 4.1

Die DGLn (2.13) zeigen, wie die bei der linearen Stabtheorie voneinander unabhängigen vier Teilprobleme „Normalkraft, Biegung um die y- bzw. z-Achse und Torsion“ bei Theorie II. Ordnung miteinander verknüpft sind. Die Kopplung wird durch die Schnittgrößen verursacht und führt dazu, dass das Differentialgleichungssystem (2.13) analytisch nicht gelöst werden kann. Für gewisse Sonderfälle sind Lösungen bekannt, wobei vornehmlich die Problemstellung „Biegeknicken“ von allgemeiner Bedeutung ist. In den DGLn (2.13) ist die Normalkraft N als Zugkraft positiv definiert und die Gleichstreckenlast q_x greift im Schwerpunkt an, s. auch Bild 1.9.

Aus Gl. (2.13c) folgt für ϑ(x) = 0 sowie konstante Steifigkeit EI_y und Drucknormalkraft ND die bekannte DGL für das Biegeknicken um die starke Achse:

(2.14)

Für die Lösung der DGLn ist es zweckmäßig, Stababschnitte der Länge ℓ zu betrachten und als Parameter Stabkennzahlen ε einzuführen. Damit kann wie folgt formuliert werden:

(2.15)

(2.16)

(2.17)

Die Lösungen der DGLn (2.15) und (2.16) werden in Abschnitt 2.5 angegeben, da sie dort zur Beurteilung der Ansatzfunktionen für die Verformungen benötigt werden.

Abschließend soll in diesem Abschnitt noch das Stabilitätsproblem Plattenbeulen angesprochen werden. Nach [26] lautet die homogene DGL:

(2.18)

In Gl. (2.18) bedeuten die hochgestellten Striche Ableitungen nach x und die hochge-stellten Punkte Ableitungen nach y. Die Spannungen σ_x und σ_y sind als Druckspannungen positiv definiert, was der Vorgehensweise beim Biegeknicken für Drucknormalkräfte entspricht. Wenn man in Gl. (2.18) σ_y = τ = 0 setzt, so ergibt sich eine homogene DGL, die mit der DGL für das Biegeknicken von Stäben formal übereinstimmt:

(2.19)

Aufgrund dieser Übereinstimmung ergeben sich für die homogenen DGLn (2.15) und (2.19) die gleichen Lösungsfunktionen.