Читать книгу Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau - Matthias Krauß - Страница 31

Für finite Stabelemente sind Polynomfunktionen von zentraler Bedeutung. Als Beispiel wird die Funktion

(2.20)

betrachtet. Diese viergliedrige Polynomfunktion hat den Polynomgrad 3 und Polynomkoeffizienten a₀, a₁, a₂ und a₃. Verkürzt ausgedrückt spricht man auch von „Polynomen“.

Beanspruchung durch Normalkräfte

Die DGL für diesen Beanspruchungsfall kann Tabelle 2.3 entnommen werden. Da später nur Stabelemente mit gleichbleibenden Querschnitten betrachtet werden, kann EA = konstant gesetzt werden und es ergibt sich die folgende DGL:

(2.21)

Die zweimalige Integration dieser DGL liefert:

(2.22)

Bild 2.11 Stabelement und Funktionen für die Längsverschiebung bei Normalkraftbe-anspruchungen und die Verdrehung bei St. Venantscher Torsion

Wenn man den Fall q_x = 0 betrachtet, ist die genaue Lösung ein Polynom 1. Grades mit einem linear veränderlichen Verlauf von uS(x). Die Integrationskonstanten a₀ und a₁ können mithilfe von Bild 2.11 durch die Längsverschiebungen an den Enden des Stabelementes ersetzt werden. Mit den Randbedingungen u_S(x = 0) = u_Sa und u_S(x = ℓ) = u_Sb ergeben sich die Integrationskonstanten zu:

(2.23)

(2.24)

Wenn man nun die dimensionslose Koordinate ξ = x/ℓ einführt, erhält man die folgende Funktion für die Längsverschiebungen:

(2.25)

Da hier nur die Verschiebungen in den Knoten berücksichtigt werden (keine Ableitungen!), entsprechen die Formfunktionen in Bild 2.11 den Koeffizientenfunktionen des Lagrangeschen Interpolationspolynoms für zwei Stützwerte. Formfunktionen werden bei der FEM häufig verwendet. Sie haben korrespondierend zu einer Verformungsgröße den Wert eins, während sich alle anderen Verformungsgrößen, mit denen die Verschiebungsfunktion beschrieben wird, zu null ergeben.

St. Venantsche Torsion

Bei wölbfreien Querschnitten ist der Wölbwiderstand I_ω = 0, so dass reine St. Venantsche Torsion auftritt. Für diesen Sonderfall ergibt sich die DGL nach Tabelle 2.3 unter der Annahme GI_T = konst. zu:

(2.26)

Ein Vergleich mit Gl. (2.21), d. h. mit der DGL für die Längsverschiebung, zeigt die formale Übereinstimmung der beiden Gleichungen. Man erhält daher für die Verdrehungen bei St. Venantscher Torsion den folgenden Funktionsverlauf im Stabelement (s. auch Bild 2.11):

(2.27)

Biegung um die z-Achse

Wenn man gleichbleibende Querschnitte in den Stabelementen annimmt, ist EI_z = konst. und man erhält mithilfe von Tabelle 2.3 folgende Differentialgleichung:

(2.28)

Die viermalige Integration dieser DGL liefert:

(2.29)

Es ergibt sich also ein Polynom 3. Grades mit den vier Integrationskonstanten c₀ bis c₃, wenn man den Fall q_y = 0 betrachtet. Wie bei der „Beanspruchung durch Normalkräfte“ werden die Integrationskonstanten durch ingenieurmäßig anschauliche Verformungsgrößen ersetzt. Mechanisch sinnvoll ist es die Durchbiegungen und Verdrehungen an den Elementenden als Freiwerte zu wählen, da die Durchbiegungen über die Elementgrenzen hinweg stetig, d. h. ohne Knicke, durchgehen müssen. Wie in Bild 2.12 dargestellt lauten die gewählten Knotenfreiwerte: und . Unter Verwendung der Randbedingungen , und können die Integrationskonstanten in Gl. (2.29) ersetzt werden. Mit der dimensionslosen Koordinate ξ = x/ℓ erhält man die folgende Funktion für die Durchbiegung des Stabelementes in y-Richtung:

(2.30)

Gl. (2.30) ist ein Hermitesches Interpolationspolynom der Ordnung 2α = 4, da neben den Verschiebungen in den Punkten a und b auch die erste Ableitung zur Beschreibung der Durchbiegung verwendet wird.

Bild 2.12 Stabelement und Formfunktionen f(ξ) für die Durchbiegung v_M(ξ)

Biegung um die y-Achse

Wie Tabelle 2.3 zeigt, ist dieser Beanspruchungsfall unmittelbar mit der Biegung um die z-Achse vergleichbar. Bei analoger Vorgehensweise erhält man die folgende Funktion für die Durchbiegungen wM(ξ) des Stabelementes in z-Richtung:

(2.31)

Die Formfunktionen f₁ bis f₄ können Bild 2.12 entnommen werden, da sie für die Durchbiegung w_M(ξ) und v_M(ξ) identisch sind. Die negativen Vorzeichen in Gl. (2.31) ergeben sich, weil für die Winkel und gilt.