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Im Abschnitt 2.5.5 sind Ansätze für die Verschiebungen u(x, s) zur Untersuchung von dünnwandigen Stabquerschnitten formuliert worden. Im Vergleich zu den dünnwandigen Querschnitten ist es bei den dickwandigen nicht ausreichend, nur die Profilmittellinie zu betrachten. Daher sind bei diesen Querschnitten zur Beschreibung der Verschiebungen u zweidimensionale Interpolationspolynome erforderlich, mit denen auch der Funktionsverlauf über die Dicke erfasst werden kann.

Betrachtet man zunächst ein zweidimensionales rechteckiges Element, dessen Ränder mit dem y-z-Hauptachsensystem eines Querschnitts zusammenfallen, so können die Ordinaten des Hauptsystems durch die dimensionslosen Elementordinaten

ersetzt werden. Bild 2.21 zeigt drei rechteckige Elemente mit 4, 9 und 16 Freiwerten für die Verschiebung u.

Bild 2.21 Zweidimensionale Elemente für Querschnitte und Freiwerte u

Bei den dünnwandigen Querschnitten konnte direkt für die unterschiedlichen Pro-blemstellungen, d. h. für die Wölbordinate ω sowie die Schubverformungen u infolge primärer Torsion, Querkraft und sekundärer Torsion, angegeben werden, mit welchen Polynomen die Verschiebungen u(x, s) genau beschrieben werden können. Da der Verlauf der Verschiebungen u(x, y, z) von der Geometrie eines Querschnitts abhängt, ist dies für dickwandige Querschnitte nicht möglich. Er kann nur für grundlegende Formen (z. B. für Rechtecke oder gleichseitige Dreiecke) analytisch angegeben wer-den. Aus diesem Grund kann a priori nicht festgelegt und verallgemeinert werden, welcher Polynomgrad sich für die Ansatzfunktionen am besten eignet. Mit einem gewählten Verschiebungsansatz kann daher im Allgemeinen nur eine Näherungslösung erzielt werden, die bei einer Verfeinerung der FE-Modellierung jedoch zur genauen Lösung konvergieren soll.

Damit dies gewährleistet ist, muss der Verschiebungsansatz Anforderungen bzgl. der Stetigkeit erfüllen. Betrachtet man die Grundgleichungen der beliebigen dickwandigen Querschnitte (s. Abschnitt 7.5.2), so wird deutlich, dass in der virtuellen Arbeit die Verschiebungen u und die ersten Ableitungen der Verschiebung auftreten. Für den Verschiebungsansatz bedeutet dies, dass er in den Funktionswerten stetig verlaufen muss, damit die ersten Ableitungen und daher auch die Verzerrungen stets endliche Werte ergeben. Sie dürfen natürlich nicht unendliche Werte annehmen, da das einer Klaffung im Inneren des Elements entsprechen würde. Man spricht hierbei von einer C0-Stetigkeit. Gleichzeitig muss der Verschiebungsansatz auch mindestens einmal differenzierbar sein, ohne zu null zu werden. Beides wird durch die Verwendung der Lagrangeschen Interpolationspolynomen sichergestellt, die im Zusammenhang mit den dünnwandigen Querschnitten bereits für eindimensionale Problemstellungen in Abschnitt 2.5.5 behandelt worden sind.

Tabelle 2.5 Lagrangesche Interpolationspolynome für Flächenelemente

Für die hier benötigten zweidimensionalen Elemente sind die Formfunktionen f_i des bilinear veränderlichen und biquadratischen Ansatzes in Tabelle 2.5 zusammengestellt und in den Bildern 2.22 und 2.23 die Verläufe beispielhaft grafisch dargestellt. Die Formulierung der Funktionen erfolgt unter der Verwendung der dimensionslosen Koordinaten η und ζ, deren Ursprung in der Mitte der entsprechenden Intervalle ‒1 ≤ η ≤ 1 und ‒1 ≤ ζ ≤ 1 liegt. Damit ergibt sich der Funktionsverlauf zur Beschreibung der Verschiebungen u für ein Element mit n Knoten:

(2.67)

Bild 2.22 Formfunktion f₃ beim bilinear veränderlichen Funktionsverlauf

Bild 2.23 Formfunktionen f₃, f₆ und f₉ beim biquadratischen Funktionsverlauf

Mit Bild 2.21 ist bisher von Elementen mit rechteckiger Form ausgegangen worden. In Abschnitt 7.4 wird jedoch deutlich, dass Gl. (2.67) auch zur Beschreibung der Verschiebungen von schiefwinkligen bzw. krummlinig berandeten Elementen verwendet werden kann.

Prinzipiell können in Gl. (2.67) beliebige Lagrangesche Polynome, d. h. die bilinear veränderlichen, biquadratischen, bikubischen oder Polynome höheren Grades verwendet werden. Dabei ist zu bedenken, dass mit den bilinear veränderlichen Funktionen, im Vergleich zu den biquadratischen, sehr viele Elemente benötigt werden, um gute Lösungen bei der Querschnittsberechnung zu erzielen, s. Abschnitt 7.7.4. Aus diesem Grund wird von der Verwendung des bilinear veränderlichen Ansatzes abgeraten.

Bei linienartigen Querschnitten konnte gezeigt werden, dass mit einem kubischen Polynom die Verschiebungen infolge Querkraft und sekundärer Torsion exakt beschrieben werden und es daher ausreichend ist, ein Blech durch ein einziges Element abzubilden. Daher scheint es naheliegend, den bikubischen Ansatz für die zweidimensionalen Elemente zu wählen. Auf der anderen Seite hängt es bei dickwandigen Querschnitten von der Querschnittsform ab, wie gut dieser Ansatz die tatsächlichen Verformungen beschreibt. Da man ohnehin mehrere Elemente in Dickenrichtung anord-net, kann man alternativ auch Elemente mit biquadratischem Funktionsverlauf wählen. Darüber hinaus sollen die Elemente numerisch möglichst „stabil“ sein, was durch rechteckige und dabei bevorzugt quadratische Elemente erreicht wird. Damit ergibt sich bei Stahlquerschnitten in der Regel eine Elementierung, mit der die Verschiebungen häufig gleichermaßen gut durch die biquadratischen oder bikubischen Funktionen beschrieben werden können. Auch wenn man bei der Verwendung der bikubischen Funktionen eine geringere Anzahl von Elementen benötigt, ist aufgrund der numerischen Integrationen der Rechenaufwand unverhältnismäßig höher, s. Abschnitt 7.5.6. Aus diesem Grund werden Elemente mit biquadratischem Funktionsverlauf empfohlen.

Anmerkung: Für das Verständnis sei ergänzend erwähnt, dass neben C0-stetigen häu-fig auch C1-stetige Polynome gefordert werden. Dies ist der Fall, wenn in den Grundgleichungen, d. h. in der virtuellen Arbeit, auch die zweite Ableitung einer Verformung auftritt. Dann muss auch die erste Ableitung der Polynomfunktion zur Beschreibung der Verformung stetig verlaufen. Als Beispiel hierfür können die schubstarren Stäbe genannt werden, für die Hermitesche Interpolationspolynome verwendet werden.