Читать книгу Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau - Matthias Krauß - Страница 34

Bei der Untersuchung von Querschnitten müssen die Verschiebungen u(x, s) in Längsrichtung von Stäben ermittelt werden. Als Beispiel zeigt Bild 2.19 die Verschiebungen u eines C-Querschnittes infolge Verdrillung ϑ′(x) . Da der C-Querschnitt dünnwandig ist, wird nur seine Mittellinie betrachtet und wie üblich anstelle der Querschnittskoordinaten y und z eine Profilordinate s verwendet.

Bild 2.19 Verschiebungen infolge Verdrillung ϑ′

Die Profilmittellinien von Querschnitten sind in der Regel abschnittsweise geradlinig. Querschnitte werden daher in abschnittsweise gerade Einzelteile aufgeteilt. Im Sinne der FEM handelt es sich dabei um geradlinige Querschnittselemente mit konstanter Blechdicke t. Zur Beschreibung der Verschiebungen u in der Querschnittsebene werden eindimensionale Lagrangesche Interpolationspolynome verwendet, da es aufgrund der theoretischen Grundlagen zweckmäßig ist, nur die Verschiebungen in ein zelnen Punkten (Querschnittsknoten) und nicht ihre Ableitungen zu berücksichtigen.

In Tabelle 2.4 wird ein Querschnittselement in beliebiger Lage betrachtet und die Profilordinate s durch die dimensionslose Ordinate ξ = (2 ⋅ s/ℓ ‒ 1) ersetzt. ξ wird hier als Ordinate in der Querschnittsebene verwendet. Prinzipiell ist sie mit ξ = x/ℓ bei Stabelementen vergleichbar, wobei sie jedoch bei den Stabelementen die Längsrichtung beschreibt. Der Nullpunkt der dimensionslosen lokalen Querschnittsordinate ξ wird in der Mitte des Querschnittselements angenommen und in Tabelle 2.4 Linien elemente mit zwei, drei und vier Knoten betrachtet. Im Gegensatz zu den Stabelementen wird hier der Ursprung von ξ in die Mitte des Elements gelegt, weil für die zweidimensionalen Querschnittselemente numerische Integrationen erforderlich sind und diese Lage dafür zweckmäßig ist. Im Sinne einer einheitlichen Darstellung wird sie hier auch für die eindimensionalen Querschnittselemente verwendet.

Tabelle 2.4 Lagrangesche Interpolationspolynome für Linienelemente

Bild 2.20 Funktionsverlauf von Formfunktionen bei Lagrangeschen Interpolationspolynomen

Der Funktionsverlauf der Verschiebung u ergibt sich für ein Linienelement mit n Knoten aus den Formfunktionen f_i und den Knotenverschiebungen u_i wie folgt:

(2.59)

Bild 2.20 zeigt den Verlauf ausgewählter Formfunktionen. Mit den folgenden Grundsatzüberlegungen wird gezeigt, welche Funktionsverläufe für die zutreffende Erfassung der unterschiedlichen Problemstellungen in Kapitel 7 benötigt werden.

Wölbordinate ω

Ein Ziel bei der Untersuchung von Querschnitten ist es, die normierte Wölbordinate ω, die durch die Beziehung

(2.60)

die Verschiebungen u mit der Verdrillung ϑ' eines Querschnitts verknüpft, zu bestimmen (vgl. Abschnitt 7.3 und 7.4.1). Für dünnwandige offene Querschnitte gilt nach [12] zur Bestimmung der Wölbordinate:

(2.61)

Bei dünnwandigen geschlossenen Querschnitten ist Gl. (2.61) wie folgt zu erweitern:

(2.62)

In Gl. (2.62) sind die Parameter ψ_i die Torsionsfunktionen der Hohlzellen, [57]. Geht man von Querschnitten aus, die sich aus ebenen Blechen zusammensetzen, ist der Abstand r_t vom Schubmittelpunkt zur Tangente an der Profilmittellinie bei jedem Blech bzw. Querschnittselement konstant. Gleiches gilt für den Faktor ψ einer Hohlzelle, so dass die Integration über die Profilordinate s für jedes Querschnittselement einen linear veränderlichen Verlauf von ω liefert. Beachtet man zudem, dass für einen Querschnitt ϑ' konstant ist, wird mit Gl. (2.60) deutlich, dass u ebenfalls einen linear veränderlichen Verlauf hat, vgl. auch Bild 2.19. Die Verschiebung u kann da-her unter Verwendung von Tabelle 2.4 durch die folgende Funktion genau beschrie-ben werden:

(2.63)

St. Venantsche Torsion

Gemäß Abschnitt 7.4 setzen sich die Schubspannungen der St. Venantschen (primären) Torsion bei dünnwandigen Querschnitten aus zwei Anteilen zusammen. In den rechteckigen Teilquerschnitten (offene Querschnitte) ergeben sich Schubspannungen, die auf der Mittellinie der Bleche in weiten Bereichen gleich null sind. Aufgrund der Reduzierung des Querschnitts auf seine Mittellinie können sie durch entsprechende finite Elemente mit den Freiwerten u nicht erfasst werden. Sie müssen deshalb mit anderen Methoden ermittelt werden. In den Hohlzellen von dünnwandigen Querschnitten sind die Schubspannungen infolge St. Venantscher Torsion über die Blechdicke und in Blechlängsrichtung konstant. Wegen τ_xs = G ⋅ γ_xs und γ_xs = ∂u/∂s + ∂v/∂x ergeben sich nach der Integration linear veränderliche Verschiebungen u, so dass wie bei der Wölbordinate ω ein Querschnittselement nach Tabelle 2.4 links bzw. Gl. (2.63) ausreicht. Die Thematik wird in Abschnitt 7.3 vertieft.

Querkräfte und sekundäre Torsion

Zur Berechnung von Schubspannungen, die sich infolge von Querkräften und der sekundären Torsion ergeben, werden in Abschnitt 7.3 die zugehörigen Schubverformungen herangezogen. Es ist allgemein üblich, diese Schubspannungen in dünnwandigen Querschnitten durch Gleichgewichtsbetrachtungen zu bestimmen, was nach [12] zu der folgenden Bestimmungsgleichung führt:

(2.64)

Für geradlinige Querschnittsteile mit gleichbleibender Blechdicke t sind die Faktoren vor den Integralen konstante Größen. Daraus ergibt sich, dass der Verlauf der Schubspannungen nur von den Integralen abhängt. Da die Ordinaten z(s), y(s) und ω(s) einen konstanten oder linear veränderlichen Verlauf haben, ergibt sich für die Schubspannungen τ_xs ein linear veränderlicher oder quadratischer Verlauf. Mit der Definition der Schubspannungen in Abhängigkeit von den Schubverformungen nach Gl. (7.21) in Abschnitt 7.4.1 folgt

(2.65)

und daher ein quadratischer oder kubischer Verlauf der Verschiebungen u(s). Somit gelingt eine genaue Beschreibung mit dem Verschiebungsansatz in Tabelle 2.4 rechts:

(2.66)

Der Verlauf der in Gl. (2.66) enthaltenen Formfunktionen ist beispielhaft für f₁ und f₃ in Bild 2.20b dargestellt.