Читать книгу Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau - Matthias Krauß - Страница 32

Im Folgenden wird für drei Sonderfälle gezeigt, dass in den Funktionen für die Ver-formungen auch folgende Funktionen vorkommen können:

 Trigonometrische Funktionen: sin x und cos x

 Hyperbelfunktionen: sinh x und cosh x

Biegung mit Drucknormalkraft nach Theorie II. Ordnung und Stabilitätsfall Biegeknicken

Nach Abschnitt 2.4.4, Gl. (2.15), lautet die DGL für die Durchbiegungen in z-Richtung:

(2.32)

Bekanntlich setzt sich die Lösung dieser DGL aus zwei Anteilen zusammen:

(2.33)

Der erste Term beschreibt die Lösung der homogenen DGL, also für q_z = 0, und der zweite die partikuläre Lösung. Nach [26] erhält man mit x = ξ ⋅ ℓ:

(2.34)

Wie in Abschnitt 2.5.2 können die Integrationskonstanten c₀ bis c₃ durch ingenieurmäßig anschauliche Verformungsgrößen ersetzt werden. Mit

(2.35a-d)

erhält man die folgende Funktion für die Durchbiegung eines Stabelementes, das durch eine Drucknormalkraft und eine Gleichstreckenlast beansprucht wird:

(2.36)

Mit:

Gl. (2.36) für ein „Biegeknick-Stabelement“ ist im Vergleich zu Gl. (2.31) für das rein auf Biegung beanspruchte Stabelement wesentlich länger und daher im Hinblick auf die weitere Verwendung erheblich aufwändiger. Bei der FEM wird sie jedoch erfreulicherweise nur selten benötigt. An dieser Stelle soll nur gezeigt werden, wie die genaue Lösung der Verformungsfunktion für das Biegeknicken lautet. In Abschnitt 4.6 wird die genaue Lösung der DGL zur Herleitung der Steifigkeitsmatrix nach Theorie II. Ordnung erneut herangezogen.

Mit N = 0 bzw. ε_D = 0 kann Gl. (2.36) in Gl. (2.31) überführt werden. Dies ist allerdings nicht unmittelbar durch Einsetzen möglich, weil unbestimmte Ausdrücke der Form „0/0“ auftreten. Auch die Lösung mit der Grenzwertregel von Bernoulli und del´Hospital

(2.37)

ist aufwändig und in der Regel mehrmals anzuwenden. Mit den Reihenentwicklungen

(2.38)

(2.39)

für die trigonometrischen Funktionen ist der Zusammenhang zwischen den Gl. (2.36) und (2.31) erkennbar. Da Gl. (2.36) für ε_D → 0 in Gl. (2.31) übergeht, kann Gl. (2.36) für kleine Stabkennzahlen näherungsweise durch die Polynomfunktion, ersetzt werden. Durch eine entsprechend feine FE-Modellierung kann man stets erreichen, dass ε_D klein ist, weil bei diesem Parameter die Elementlänge ℓ eingeht. Wie in Abschnitt 4.6 näher erläutert, ist die Näherung mit der Polynomfunktion Gl. (2.31) aus-reichend genau, wenn die Bedingung

(2.40)

Bild 2.13 Vergleich der Polynomfunktion Gl. (2.31) mit Gl. (2.36) für ε_D = 1

eingehalten wird. Bild 2.13 zeigt die Abweichung zwischen der Polynomfunktion in Bezug auf die genaue Durchbiegungsfunktion Gl. (2.36) für ε_D = 1. Die Funktionen f₃ und f₄ sind nicht dargestellt, da die Abweichungen denen der Funktionen f₁ und f₂ entsprechen, siehe auch Bild 2.12. Wie man sieht sind die Abweichungen mit bis zu 2,5 % gering.

Biegung mit Zugnormalkraft nach Theorie II. Ordnung

Im Vergleich zu dem zuvor behandelten Beanspruchungsfall mit einer Drucknormalkraft wird hier der Einfluss einer Zugnormalkraft untersucht. Für die DGL (2.16)

(2.41)

ergibt sich als Lösung

(2.42)

Alle Lösungen für die Theorie II. Ordnung mit Druckkraft (ND) können in Lösungen für die Theorie II. Ordnung mit Zugkraft (NZ) umgerechnet werden. Mit

(2.43)

erhält man

(2.44)

In Gl. (2.44) ist „i“ die imaginäre Einheit mit i² = ‒1. Bei der Umrechnung werden in der Regel nur folgende Beziehungen benötigt:

(2.45)

(2.46)

(2.47)

Mit diesen Beziehungen kann Gl. (2.36) problemlos umgerechnet werden, worauf hier jedoch verzichtet wird. Zur Vervollständigung seien auch die Reihenentwicklungen der Hyperbelfunktionen angegeben:

(2.48)

(2.49)

Auch bei der Theorie II. Ordnung mit Zugnormalkraft kann eine Näherung mit der Polynomfunktion (2.31) verwendet werden. Bei der Wahl der Elementlänge ℓ ist dann die Bedingung

(2.50)

zu beachten. Auf weitere Einzelheiten zur Verwendung der Näherung wird in Abschnitt 4.6 eingegangen.

Wölbkrafttorsion

Für die Wölbkrafttorsion ergibt sich mit Tabelle 2.3 und der Annahme konstanter Steifigkeiten im Stabelement die folgende DGL:

(2.51)

Wenn man nun eine Stabkennzahl

(2.52)

für Torsion definiert, ergibt sich die DGL

(2.53)

die mit der DGL (2.41) formal übereinstimmt. Ihre Lösung führt daher zu einer Funktion ϑ(ξ), die wie bei der „Biegung mit Zugnormalkraft nach Theorie II. Ordnung“ die Hyperbelfunktionen sinh(ε_T ⋅ ξ) und cosh(ε_T ⋅ ξ) enthält und im Übrigen formal mit Gl. (2.42) übereinstimmt. Die Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix für die Wölbkrafttorsion erfolgt in Abschnitt 3.2.4.

Biegedrillknicken und andere kombinierte Beanspruchungen

Bis auf die zuvor betrachteten Sonderfälle liegen keine weiteren Lösungen für andere Problemstellungen vor. Dennoch kann davon ausgegangen werden, dass beim Biegedrillknicken und auch bei kombinierten Beanspruchungen, die Untersuchungen zur Stabilität oder nach Theorie II. Ordnung erfordern, ebenfalls trigonometrische und Hyperbelfunktionen für die Beschreibung der Verformungen benötigt werden. Da bei diesen Problemstellungen jedoch nur die Polynomansätze verwendet werden können, ist auf eine ausreichend feine FE-Modellierung zu achten. Als Orientierungshilfe können die drei Sonderfälle herangezogen werden. Im Zweifelsfall ist eine feinere Modellierung zu wählen oder schrittweise zu verfeinern, s. dazu auch Abschnitt 5.2.6.