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Partielle Ableitungen haben viele nützliche Eigenschaften. Einige, auf die wir immer wieder zurückgreifen werden, sind im Mathematischen Exkurs 2 am Ende dieses Kapitels näher erläutert. Durch zweckmäßige Verwendung der partiellen Differenzialquotienten kann man unbekannte Größen oft in bekannte, interpretierbare oder messbare umformen.

Abb. 2.25 Schema der Versuchsanordnung, mit der Joule die Änderung der Inneren Energie bei isothermer Expansion eines Gases messen wollte. Die vom Gas absorbierte Wärmemenge ist proportional zur Temperaturänderung des Wärmebads.

Sehen wir uns ein Beispiel dafür an. Wir wollen untersuchen, wie sich die Innere Energie bei konstantem Druck des Systems als Funktion der Temperatur ändert. Dazu teilen wir beide Seiten von Gl. (2-41) (dU = πT dV + CV dT)durch dT und fordern für die beiden resultierenden Ableitungen konstanten Druck. Damit wird auf der linken Seite dU/dT zu (∂U/∂T)_p und wir erhalten

Es ist immer sinnvoll, sich einen derartigen Ausdruck daraufhin anzusehen, ob er vielleicht er eine bekannte physikalische Größe enthält. Der Differenzialquotient auf der rechten Seite der Gleichung ist die Steigung des Volumens als Funktion der Temperatur bei konstantem Druck. Diesen Wert findet man tabelliert als Koeffizienten der thermischen Ausdehnung α eines Stoffs. Er ist als

[2.42]

definiert und beschreibt die relative Volumenänderung bei Änderung der Temperatur. Je größer α ist, desto ausgeprägter ist die Reaktion des Stoffs aufeine Temperaturänderung. Tabelle 2-9 zeigt einige experimentelle Werte von α sowie von kt, der isothermen Kompressibilität

(2.43)

Die isotherme Kompressibilität ist ein Maß für die relative Volumenänderung bei einer infinitesimalen Änderung des Drucks. Da eine Druckerhöhung (dp positiv) eine Volumenabnahme (dV negativ) bewirkt, stellt das Vorzeichen in Gl. (2-43) sicher, dass kt selbst eine positive Größe ist.

Tabelle 2.9 Koeffizienten der thermischen Ausdehnung (α)und derisothermen Kompressibilität (k_t) bei 298 K.*

Substanz	α/(10–4K–1)	kt/(10–10Pa–1)
Benzol	12.4	9.09
Blei	0.861	0.218
Diamant	0.030	0.0185
Wasser	2.1	4.90

* Weitere Werte im Tabellenteil am Ende des Buches.