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Die Entropie eines Systems ist eine Zustandsfunktion. Um diese Behauptung zu beweisen, müssen wir zeigen, dass das Integral über dS wegunabhängig ist. Dazu reicht es aus, wenn wir nachweisen können, dass das Integral in Gl. [3-1] auf einem willkürlich gewählten, geschlossenen Weg gleich null ist; dann stimmt der Wert der Entropie im Anfangs- und Endzustand offensichtlich überein (Abb. 3-5), ungeachtet des Weges zwischen beiden Zuständen. Kurz gesagt, wir müssen beweisen, dass

Abb. 3-5 In einem thermodynamischen Kreisprozess ist die Gesamtänderung einer Zustandsfunktion (bei einem Durchlauf von einem Anfangs- zu einem Endzustand und zurück zum Anfangszustand) gleich null.

(3-6)

ist. Das Symbol ∮ steht dabei für ein Integral entlang eines geschlossenen Weges. Unseren Beweis gliedern wir in drei Schritte. Wir zeigen, dass

1 Gl. (3-6) für einen speziellen geschlossenen Weg (einen „Carnot-Kreisprozess“ mit einem idealen Gas zutrifft),

2 dies unabhängig vom gewählten Arbeitsmedium gilt und

3 dies für beliebige Wege gilt.

Ein Carnot-Prozess (Abb. 3-6), benannt nach dem französischen Ingenieur Sadi Carnot, besteht aus vier reversiblen Teilschritten:

1 Reversible isotherme Expansion von A nach B bei Tw; die Entropieänderung des Systems ist dabei qw/ Tw,wenn qw die vom System aus dem Wärmebad aufgenommene Wärmemenge ist.

2 Reversible adiabatische Expansion von B nach C; das System gibt dabei keine Wärme an die Umgebung ab, die Entropieänderung ist folglich null. Während dieser Expansion fällt die Temperatur von Tw auf Tk,dieTemperaturder Wärmesenke.

3 Reversible isotherme Kompression von C nach D bei Tk; dabei wird die Wärmemenge qk an die Wärmesenke abgegeben, die Entropieänderung ist qk/ Tk, wobei qk negativ ist.

4 Reversible adiabatische Kompression; das System nimmt keine Wärme aus der Umgebung auf, die Entropieänderung ist folglich wieder null. Die Temperatur steigt von Tw auf Tk.

Abb. 3-6 Das Prinzip des Carnot-Kreisprozesses. Schritt 1 ist eine isotherme reversible Expansion bei der Temperatur T_w; Schritt 2 ist eine reversible adiabatische Expansion, dabei sinkt die Temperatur von T_w nach T_k. In Schritt 3 findet eine isotherme reversible Kompression bei T_k statt, und in Schritt 4 wird das System durch eine adiabatische reversible Kompression in seinen Anfangszustand zurückgeführt.

Die Gesamtentropieänderung im Kreisprozess ist

In Begründung 3-1 wird gezeigt, dass für ein ideales Gas

(3-7)

ist. Wenn wir die untere Gleichung in die obere einsetzen, ergibt sich aufder rechten Seite null, wie wir beweisen wollten.