Читать книгу Detekcja sygnałów optycznych - Zbigniew Bielecki - Страница 11

Luminancja jest stosowna w przypadku źródła rozciągłego, gdy jego powierzchnia jest porównywalna z kwadratem odległości między źródłem a odbiornikiem. Określa ona wartość strumienia promieniowania emitowanego przez jednostkową powierzchnię źródła w jednostkowy kąt bryłowy. W zapisie różniczkowym luminancja przyjmuje postać

(1.12)

Pochodna cząstkowa drugiego rzędu wskazuje, że moc promieniowania odbierana przez odbiornik jest funkcją przyrostu powierzchni źródła emitującej promieniowanie i przyrostu kąta bryłowego detektora (rys. 1.10).

Rys. 1.10. Luminancja rozciągłego źródła

Wyrażenie (1.12) można scałkować oddzielnie zarówno ze względu na powierzchnię detektora, jak i kąt bryłowy detektora, pozostawiając w obu wypadkach pierwszą pochodną. Dla przykładu, z zależności (1.12) mamy

(1.13)

i całkując to wyrażenie po powierzchni źródła, otrzymamy natężenie promieniowania

(1.14)

Podobnie, całkując wyrażenie (1.13) po kącie bryłowym, otrzymamy wyrażenie określające egzytancję

(1.15)

Jeżeli luminancja jest niezależna od kąta widzenia q_s, to takie źródło nazywamy źródłem (radiatorem) Lamberta. Luminancja odzwierciedla wizualne wrażenie postrzegania jasności powierzchni. Źródła nielambertowskie zmieniają swą jasność ze zmianą kąta q_s.

Okazuje się, że idealne źródła termiczne (ciała doskonale czarne) są całkowicie źródłami Lamberta. Jednakże nawet w tym wypadku wielkość strumienia przypadającego na jednostkowy kąt bryłowy (natężenie promieniowania) jest funkcją q_s. Możemy to łatwo wykazać, korzystając z równości (1.14). Przyjmując, że L jest niezależne od położenia źródła, człon Lcosq_s możemy wyłączyć spod znaku całki. Otrzymujemy wówczas

(1.16)

Zauważmy, że natężenie promieniowania jest kosinusową funkcją q_s, w wypadku gdy luminancja jest niezależna od kąta, jak to pokazano na rys. 1.11. Dla źródeł nielambertowskich luminacja L jest zależna od kąta i zmniejszanie się I ze zmianą q_s jest silniejsze niż cosq_s.

Rys. 1.11. Natężenie promieniowania w funkcji kąta q_s dla źródła Lamberta

Aby uzyskać związek między egzytancją a luminancją dla źródła płaskiego, skorzystamy z zależności (1.15) i (1.8)

(1.17)

gdzie przyjęto przybliżenie źródła Lamberta, aby wyprowadzić L przed znak całki. Dla źródeł nielambertowskich powyższa całka przyjmuje stałą proporcjonalności różną od π.

Rys. 1.12. Moc promieniowania przenoszona od źródła do detektora

W celu uproszczenia rozważań przyjmiemy, że kąt q_s jest równy zeru. Wówczas, zgodnie z konfiguracją geometryczną źródła i detektora pokazaną na rys. 1.12, kąt bryłowy detektora wynosi

(1.18)

Mnożąc ten kąt bryłowy przez powierzchnię źródła i luminancję źródła, otrzymujemy moc promieniowania padającego na detektor

(1.19)

Widzimy więc, że strumień promieniowania jest wyrażony przez luminancję źródła pomnożoną przez iloczyn A_dW_s. Trzeba jednak pamiętać o ograniczeniach z tym związanych: przybliżeniu małych kątów (aby obliczyć kąt bryłowy A/r² przyjęliśmy płaskie źródła), pominięciu strat absorpcyjnych w układzie optycznym i w ośrodku transmisyjnym.

Rozszerzymy teraz nasze rozważania dla przypadku nachylonego odbiornika (rys. 1.13), kiedy to normalna do powierzchni odbiornika nie pokrywa się z normalną do powierzchni źródła. W tym wypadku q_s = 0, a q_d ≠ 0. Wówczas

(1.20)

a ponieważ W_d = A_dcosq_d/r², więc

(1.21)

Oznacza to, że zarówno strumień, jak i natężenie promieniowania (Φ/A_d) są zmniejszone o czynnik cosq_d.

Rys. 1.13. Promieniowanie emitowane do nachylonego odbiornika

Stosując przybliżenie płaskiego źródła Lamberta, obliczymy teraz strumień padający na detektor, kiedy zarówno q_s i q_d są niezerowe (rys. 1.14). Otrzymamy

(1.22)

Jeżeli uwzględnimy fakt, że powierzchnie źródła i detektora są równoległe i q_s = q_d, to otrzymamy zależność proporcjonalną do cos⁴θ. Jest to więc „prawo cosinusa do czwartej potęgi”.

Rys. 1.14. Promieniowanie emitowane ze źródła w przypadku gdy q_s i q_d są niezerowe

Na zakończenie tego podrozdziału rozważymy transmisje strumieni promieniowania w układach optycznych. Obliczenia wykonamy w dwóch etapach. Na początku określimy strumień zebrany przez układ optyczny i przeniesiony na płaszczyznę obrazową układu (rys. 1.15). Strumień ten może być określony standardową formułą, przyjmując, że apertura soczewek A_so działa jako pośredni odbiornik promieniowania

(1.23)

Rys. 1.15. Moc promieniowania zebrana przez układ optyczny

Strumień ten modyfikowany układem soczewek formułuje obraz oryginalnego obiektu. Obliczenie natężenia promieniowania w płaszczyźnie obrazowej jest ważne z punktu widzenia stopnia oświetlenia odbiornika. Parametr ten może być w prosty sposób określony przez podzielenie zebranego strumienia przez powierzchnię uzyskanego obrazu

(1.24)

gdzie p jest odległością obiektu od soczewki, q jest odległością obrazu od soczewki, ostatnią zaś równość uzyskaliśmy po uwzględnieniu związku A_obr = A_ob(q/p)². Stąd otrzymujemy natężenie promieniowania w płaszczyźnie obrazowej

(1.25)