Читать книгу Detekcja sygnałów optycznych - Zbigniew Bielecki - Страница 13

Pod koniec XIX w. dokonano bardzo starannych pomiarów promieniowania termicznego ciała doskonale czarnego. Okazało się jednak, że próby wyprowadzenia prawa opisującego to widmo, oparte na zasadach fizyki klasycznej, prowadzą do absurdalnych wyników. Na przykład Rayleigh i Jeans, stosując prawa klasycznej elektrodynamiki dla promieniowania zrównoważonego (w którym promieniowanie emitowane przez drgające elektrony atomowe, stanowiące oscylatory, jest pochłaniane przez inne atomy), otrzymali następujący wzór określający widmowy strumień promieniowania emitowany przez jednostkową powierzchnię:

(1.26)

Zauważmy, że z tego wzoru wynika, iż strumień jest proporcjonalny do ν² i przy ν → ∞ dąży do nieskończoności. Jest to sprzeczne z doświadczeniem. Jedynie w zakresie małych częstotliwości dobrze zgadza się z doświadczeniem.

Próbując usunąć rozbieżności między teorią a doświadczeniem, Planck w 1900 roku wysunął hipotezę, że elektryczny oscylator harmoniczny, stanowiący model elementarnego źródła promieniowania, w procesie emisji promieniowania może tracić energię tylko porcjami, czyli kwantami ∆Ε, o wartości proporcjonalnej do częstotliwości jego drgań własnych. Czyli

(1.27)

gdzie współczynnik proporcjonalności h nosi nazwę stałej Plancka i wynosi 6,626 ⋅ 10^–34 Js. Wymiarem h jest działanie = energia×czas = długość×pęd = moment pędu. W związku z tym, stałą Plancka nazywa się też elementarnym kwantem działania. Uogólniając swoje rozważania, Planck zapostulował, że energia oscylatora może przyjmować wartości

(1.28)

gdzie n jest liczbą kwantową. Jeżeli teraz przyjąć, że rozkład oscylatorów po możliwych dyskretnych stanach energii jest określony prawem Boltz­manna, to prawdopodobieństwo znajdowania się oscylatorów w stanie o energii nhν w temperaturze T jest równe p_n = Aexp(–nhν/kT), gdzie A jest stałym współczynnikiem określonym z warunku unormowania Wówczas średnia energia oscylatora wynosi

(1.29)

Oznaczając exp(–hν/kT) przez x i rozpisując wzór (1.29), otrzymamy

Zauważmy, że

natomiast

zatem

Uwzględniając, że w stanie równowagi termicznej wydatek energii promieniowania oscylatorów jest całkowicie kompensowany przez pochłanianie padającego na nie promieniowania, Planck pokazał, że

Wobec tego

(1.30)

Wzór (1.30) jest słynnym wzorem Plancka określającym widmowy strumień promieniowania (widmowa luminancja energetyczna) emitowany przez ciało doskonale czarne. Wzór ten określa rozkład widmowy promieniowania ciała, który bardzo dobrze zgadza się z doświadczeniem. W zakresie małych częstotliwości przyjmuje postać wzoru Rayleigha-Jeansa (1.26).

Wzór (1.30) można również wyrazić w zależności od długości fali

(1.31)

Analogiczne równanie w jednostkach fotonowych ma następującą postać:

(1.32)

Podobnie, można uzyskać zależności określające energetyczną i fotonową spektralną luminancję:

(1.33)

(1.34)

Przykładowo, na rys. 1.18–1.21 przedstawiono spektralne luminancje energetyczne i fotonowe ciał doskonale czarnych o temperaturze od 300 K do 6000 K.

Z analizy charakterystyk na rys. 1.18–1.21 wynikają następujące wnioski:

 ● krzywe spektralne strumienia promieniowania emitowanego przez CDC są opisane funkcją ciągłą. Dla danej temperatury spektralny strumień fotonowy wzrasta wraz ze wzrostem długości fali, osiąga maksimum, a następnie maleje,

 ● dla danej długości fali strumień promieniowania wzrasta wraz ze wzrostem temperatury,

 ● ze wzrostem temperatury wartość maksymalna funkcji przesuwa się w kierunku fal krótszych – w konsekwencji większa część promieniowania jest emitowana w przedziale fal krótszych,

 ● maksymalna wartość promieniowania emitowanego przez Słońce (T = 5780 K) przypada na zakres widzialny (λ ≈ 500 nm).

Rys. 1.18. Spektralny strumień promieniowania (spektralna luminancja energetyczna) emitowany przez ciało doskonale czarne o temperaturze od 300 K do 1000 K

Rys. 1.19. Spektralny strumień promieniowania (spektralna luminancja energetyczna) emitowany przez ciało doskonale czarne o temperaturze od 1200 K do 6000 K

Rys. 1.20. Spektralny fotonowy strumień promieniowania (spektralna luminancja fotonowa) emitowany przez ciało doskonale czarne o temperaturze od 300 K do 1000 K

Rys. 1.21. Spektralny fotonowy strumień promieniowania (spektralna luminancja fotonowa) emitowany przez ciało doskonale czarne o temperaturze od 1200 K do 6000 K