Читать книгу Big Ideas. Das Mathematik-Buch - John Farndon - Страница 22

IHRE KOMBINATIONEN FÜHREN ZU KOMPLEXITÄTEN OHNE ENDE

DIE PLATONISCHEN KÖRPER

IM KONTEXT

SCHLÜSSELFIGUR

Platon (um 428–348 v. Chr.)

TEILGEBIET

Geometrie

FRÜHER

6. Jh. v. Chr. Pythagoras beschreibt das Tetraeder, den Würfel und das Dodekaeder.

4. Jh. v. Chr. Theaitetos, ein athenischer Zeitgenosse von Platon, diskutiert das Oktaeder und das Ikosaeder.

SPÄTER

um 300 v. Chr. Euklids Elemente beschreibt die fünf regulären konvexen Polyeder.

1596 Der deutsche Astronom Johannes Kepler schlägt ein Modell für das Sonnensystem vor, das auf geometrischen Überlegungen mit platonischen Körpern beruht.

1735 Leonhard Euler findet eine Formel für die Zahl der Flächen, Kanten und Ecken beliebiger konvexer Polyeder.

Die perfekte Symmetrie der fünf platonischen Körper kannten Gelehrte wohl lange, bevor der griechische Philosoph Platon sie um 360 v. Chr. in dem Dialog Timaios popularisierte. Jedes dieser fünf regulären konvexen Polyeder – dreidimensionale Körper mit ebenen Flächen und geraden Kanten – hat eine bestimmte Zahl deckungsgleicher polygonaler (vieleckiger) Flächen mit gleich langen Kanten, wobei sich in jeder Ecke gleich viele Flächen unter gleichen Winkeln treffen. In den Spekulationen über die Welt wies Platon vier der Körper klassische Elemente zu: dem Würfel (oder regulären Hexaeder) die Erde, dem Ikosaeder das Wasser, dem Oktaeder die Luft und dem Tetraeder das Feuer. Das Dodekaeder sei mit dem Himmel und den Sternbildern verbunden.

Körper aus Vielecken

Nur fünf reguläre konvexe Polyeder sind möglich. Ihre Flächen sind entweder gleichseitige Dreiecke, Quadrate oder reguläre Pentagone, wie Euklid in Buch XIII der Elemente zeigte. Dabei müssen sich in jeder Ecke mindestens drei Polygone treffen. Der einfachste platonische Körper ist also ein Tetraeder (Vierflächner), eine Pyramide aus gleichseitigen Dreiecken. Oktaeder (Achtflächner) und Ikosaeder (Zwanzigflächner) bestehen ebenfalls aus gleichseitigen Dreiecken, während der Würfel (Sechsflächner) aus Quadraten und der Dodekaeder (Zwölfflächner) aus Pentagonen aufgebaut ist.

Die platonischen Körper

Tetraeder: vier dreieckige Flächen

Würfel: sechs quadratische Flächen

Oktaeder: acht dreieckige Flächen

Dodekaeder: zwölf fünfeckige Flächen

Ikosaeder: 20 dreieckige Flächen

Platonische Körper zeigen Dualität: Die Mittelpunkte ihrer Flächen bilden die Ecken eines anderen. So sind der Würfel (6 Flächen, 8 Ecken) und das Oktaeder (8 Flächen, 6 Ecken) ein duales Paar, ebenso das Dodekaeder (12 Flächen, 20 Ecken) und das Ikosaeder (20 Flächen, 12 Ecken). Das Tetraeder mit vier Flächen und Ecken ist zu sich selbst dual.

Körper im Universum?

Wie Platon suchten spätere Gelehrte platonische Körper in der Natur. 1596 versuchte Johannes Kepler, die Bahnen der damals bekannten sechs Planeten (Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter und Saturn) durch platonische Körper zu beschreiben. Später erkannte er, dass er falsch lag, aber auch, dass die Planetenbahnen Ellipsen sind.

1735 erkannte der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler eine weitere Eigenschaft, die (wie man später zeigte) für alle konvexen Polyeder gilt. Die Zahl der Ecken (E) plus der Zahl der Flächen (F) minus der Zahl der Kanten (K) ergibt stets 2, also E + F – K = 2.

Wie wir heute wissen, kommen platonische Körper tatsächlich in der Natur vor: in einigen Kristallen, Viren, Gasen und Galaxienhaufen.

Platon

Der um 428 v. Chr. in einer wohlhabenden Athener Familie geborene Platon war ein Student von Sokrates, der auch ein Freund der Familie war. Sokrates’ Hinrichtung 399 v. Chr. erschütterte Platon, und er verließ Griechenland. Auf seinen Reisen entdeckte er die Werke von Pythagoras, die seine Liebe zur Mathematik erweckten. Als er 387 v. Chr. nach Athen zurückkehrte, gründete er die Akademie, über deren Eingang »Niemand soll eintreten, der keine Geometrie versteht« gestanden haben soll. Er lehrte Mathematik als Teil der Philosophie, betonte die Bedeutung der Geometrie und glaubte, dass Körper – vor allem die fünf regulären konvexen Polyeder – die Eigenschaften des Universums erklären könnten. Platon sah Perfektion in mathematischen Objekten. Sie seien der Schlüssel zum Verständnis der Unterschiede zwischen dem Realen und dem Abstrakten. Er starb etwa um 348 v. Chr. in Athen.

Hauptwerke

um 375 v. Chr. Politeia (Der Staat)

um 360 v. Chr. Philebos

um 360 v. Chr. Timaios