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Die Elemente behandeln auch die sphärische Geometrie, die von zwei Nachfolgern, Theodosios von Bithynien und Menelaos von Alexandria, weiterverfolgt wurde. Euklids Definition eines Punkts bezieht sich auf einen Punkt in der Ebene, aber ein Punkt kann auch als Punkt auf einer Kugeloberfläche aufgefasst werden.

Wie lassen sich nun Euklids Postulate auf die Kugeloberfläche übertragen? In der sphärischen Geometrie gelten andere Axiome als Euklids. Die Geometrie in Euklids Elementen nennt man heute euklidische Geometrie. Die sphärische Geometrie dagegen ist das erste Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie. So ist das Parallelenpostulat dort nicht wahr, denn alle »Geraden« (Großkreise auf der Kugel) schneiden sich und in der hyperbolischen Geometrie können sie sich sogar unendlich oft schneiden.

Euklid

Zeit und Ort von Euklids Geburt sind unbekannt, und wir wissen kaum etwas über sein Leben. Er studierte vermutlich an der Akademie in Athen, die von Platon gegründet worden war. Im 5. Jahrhundert n. Chr. schrieb der Grieche Proklos in einem Text zur Geschichte der Mathematik, Euklid habe zur Regierungszeit von Ptolemaios I. Soter (um 323–285 v. Chr.) in Alexandria gelehrt.

Euklids Werke behandeln zwei Gebiete: elementare Geometrie und allgemeine Mathematik. Neben Elementen schrieb er über Perspektiven, Kegelschnitte, sphärische Geometrie, Astronomie, Zahlentheorie und über die Wichtigkeit mathematischer Genauigkeit. Viele Werke, die man Euklid zuschreibt, gingen verloren. Mindestens fünf sind aber bis heute erhalten. Euklid starb zwischen Mitte des 4. und Mitte des 3. Jahrhunderts v. Chr.

Hauptwerke

Stoicheia (Elemente)

Konika (Kegelschnitte)

Katoptrika

Phainomena (Phänomene)

Optika (Optik)

Die ersten 16 Sätze (Propositionen) in Buch I
Satz 1	Man kann auf einer Strecke ein gleichseitiges Dreieck errichten.
Satz 2	An einen gegebenen Punkt kann eine Strecke angelegt werden, die gleich lang wie eine andere gegebene Strecke ist.
Satz 3	Bei zwei gegebenen, ungleichen geraden Strecken kann von der längeren etwas abgeschnitten werden, das so lang ist wie die kürzere.
Satz 4	Sind bei zwei Dreiecken zwei Seiten des einen gleich zwei Seiten des anderen und ist auch der von ihnen eingeschlossene Winkel gleich, dann stimmen die Seiten überein, auf denen die Dreiecke errichtet sind und die beiden Dreiecke sind gleich; somit stimmen auch die übrigen Winkel des zweiten Dreiecks mit den Winkeln des ersten überein. (Kongruenzsatz SWS)
Satz 5	In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel auf der Grundseite, auf der die Schenkel errichtet sind, gleich, und bei Verlängerung der beiden Schenkel auch die Winkel darunter.
Satz 6	Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich, dann sind auch die ihnen gegenüberliegenden Seiten gleich.
Satz 7	Treffen sich, von den Endpunkten einer Strecke aus, zwei gerade Strecken in einem Punkt, dann können zwei andere auf den Endpunkten derselben Strecke und Seite errichtete Strecken, die paarweise gleich lang wie die ersten beiden Strecken sind, sich nicht in einem anderen Punkt treffen als die beiden ersten.
Satz 8	Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten des einen gleich zwei Seiten des anderen und auch die Grundseiten gleich, auf denen sie errichtet sind, dann sind auch die Winkel gleich, die von den Seiten eingeschlossen werden. (Kongruenzsatz SSS)
Satz 9	Ein gradliniger Winkel kann in zwei gleiche Teile geteilt werden.
Satz 10	Eine gerade Strecke kann in zwei gleiche Teile geteilt werden.
Satz 11	Auf einer Geraden kann in einem gegebenen Punkt die Senkrechte errichtet werden. (Lot errichten)
Satz 12	Auf einer Geraden zu einem Punkt, der nicht auf ihr liegt, kann die Senkrechte gezogen werden. (Lot fällen)
Satz 13	Die beiden Winkel, die eine Gerade mit einer auf ihr errichteten Strecke bildet, sind entweder zwei rechte oder zusammen gleich zwei rechten. (Nebenwinkelsatz)
Satz 14	Wenn an einem Punkt auf einer Strecke zwei andere Strecken beginnen, die nicht auf ihr liegen und zwei Winkel bilden, die zwei rechten gleich sind, dann liegen diese beiden Strecken auf der gleichen Geraden.
Satz 15	Am Schnittpunkt zweier Geraden sind die einander gegenüberliegenden Winkel gleich. (Scheitelwinkelsatz)
Satz 16	Wird an einem Dreieck eine Seite verlängert, dann ist der außen liegende Winkel größer als einer der innen im Dreieck gegenüberliegenden Winkel.