Читать книгу Big Ideas. Das Mathematik-Buch - John Farndon - Страница 23

BEWEISBARE WISSENSCHAFT LEITET SICH AUS NOTWENDIGEN GRUNDSÄTZEN AB

SYLLOGISTIK

IM KONTEXT

SCHLÜSSELFIGUR

Aristoteles (384–322 v. Chr.)

TEILGEBIET

Logik

FRÜHER

6 Jh. v. Chr. Pythagoras und seine Schüler entwickeln eine systematische Methode für Beweise geometrischer Sätze.

SPÄTER

um 300 v. Chr. Euklids Elemente beschreibt Geometrie als Deduktionen aus Axiomen.

1677 Gottfried Leibniz führt eine symbolische Notation für die Logik ein, die der mathematischen Logik zuvorkommt.

1854 George Boole veröffentlicht The Laws of Thought, sein zweites Buch zur algebraischen Logik.

1884 Die Grundlagen der Arithmetik von Gottlob Frege untersucht die der Mathematik zugrundeliegenden logischen Prinzipien.

Im klassischen Griechenland unterschied man nicht klar zwischen Mathematik und Philosophie, sondern sie galten als verflochten. Ein wichtiges Prinzip der Philosophen war die Formulierung stichhaltiger Argumente, die auf logischen Folgerungen beruhten. Dies basierte auf der dialektischen Methode von Sokrates, Annahmen zu hinterfragen, um Widersprüchlichkeiten aufzudecken. Aristoteles fand dieses Modell jedoch nicht völlig zufriedenstellend und wollte die systematische Struktur logischer Argumente genauer ausarbeiten. Zunächst identifizierte er verschiedene mögliche Typen von Aussagen und wie man sie verknüpft, um logische Folgerungen zu erhalten. In Analytica Priora beschreibt er, dass es vier grundsätzliche Formen von Aussagen gibt: »Alle S sind P«, »Kein S ist P«, »Einige S sind P« und »Einige S sind nicht P«, wobei S ein Subjekt wie etwa »Frucht« ist und P ein Prädikat, eine Qualität oder ein Merkmal wie etwa »süß«. Schon aus zwei solcher Aussagen kann man ein logisches Argument konstruieren. Diese logische Form nennt man Syllogismus: Zwei Prämissen, die zu einer Schlussfolgerung führen. Aristoteles identifizierte die Struktur von Syllogismen, die logisch gültig sind, bei denen also die Schlussfolgerung tatsächlich aus den Prämissen folgt, und diejenigen, bei denen dies nicht der Fall ist. Damit schuf er eine Methode sowohl zur Konstruktion als auch zur Analyse logischer Argumente.

Im logischen Quadrat ist S ein Subjekt, z. B. »Frucht«, und P ein Prädikat, z. B. »süß«. A und O sind widersprüchlich, ebenso wie E und I: Wenn eines wahr ist, ist das andere falsch, und umgekehrt. A und E sind konträr: Beide können nicht wahr sein, aber beide können falsch sein. I und O sind subkonträr: Beide können wahr, aber nicht beide falsch sein. I folgt aus A, d. h. wenn A wahr ist, muss auch I wahr sein, doch wenn I falsch ist, ist auch A falsch. Das gleiche gilt für E und O.

Strikte Beweise

In der Diskussion gültiger Syllogismen ist die Beweismethode der Deduktion eingeschlossen. Sie geht von zwei Prämissen aus, dem Obersatz, einer allgemeinen Aussage wie »alle Menschen sind sterblich«, und dem Untersatz, einem spezifischen Fall wie »Aristoteles ist ein Mensch«, und schlussfolgert daraus. Hier: »Aristoteles ist sterblich«. Diese deduktive Argumentationsweise ist die Basis mathematischer Beweise.

In Analytica Posteriora merkt Aristoteles an, dass selbst in einem gültigen Syllogismus die Schlussfolgerung nur wahr ist, wenn man die Prämissen als wahr akzeptiert, etwa offensichtliche Tatsachen oder Axiome. Damit etablierte er das Prinzip axiomatischer Wahrheiten als Basis für die logische Weiterentwicklung von Ideen – Vorlage für mathematische Theoreme seit Euklid.

Aristoteles

Der Sohn eines Arztes am makedonischen Hof wurde 384 v. Chr. in Stagira (Chalkidiki) geboren. Mit etwa 17 Jahren ging Aristoteles nach Athen, um an Platons Akademie zu studieren, wo er ein exzellenter Schüler war. Kurz nach Platons Tod musste er aufgrund antimakedonischer Stimmungen Athen verlassen. Er setzte seine Arbeit in Assos (heutige Türkei) fort. 343 v. Chr. rief ihn Philipp II. nach Makedonien zurück, um die Hofschule zu führen. Einer der Schüler war sein Sohn Alexander der Große.

335 v. Chr. kehrte Aristoteles nach Athen zurück und gründete das Lykeion (Lyzeum), das zur Akademie in Konkurrenz stand. Nach dem Tod Alexanders, zwölf Jahre später, wurde Athen wieder antimakedonisch, und Aristoteles zog sich auf seinen Familienbesitz in Chalkis zurück, wo er 322 v. Chr. starb.

Hauptwerke

um 350 v. Chr. Analytica Priora; Analytica Posteriora; De Interpretatione

335–323 v. Chr. Nikomachische Ethik; 335–323 v. Chr. Politik