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DIE BLUME DER GANZEN ARITHMETIK

DIOPHANTISCHE GLEICHUNGEN

IM KONTEXT

SCHLÜSSELFIGUR

Diophantos (um 200–284 n. Chr.)

TEILGEBIET

Algebra

FRÜHER

um 800 v. Chr. Der Inder Baudhayana löst einige »diophantische« Gleichungen.

SPÄTER

um 1600 François Viète legt die Grundlagen zur Lösung diophantischer Gleichungen.

1657 Pierre de Fermat schreibt seinen »letzten Satz« (über diophantische Gleichungen) in ein Exemplar von Arithmetica.

1900 Problem 10 in David Hilberts Liste ungelöster Forschungsfragen ist ein Algorithmus zur Lösung aller diophantischer Gleichungen.

1970 Russische Mathematiker zeigen, dass es keinen Algorithmus gibt, der alle diophantischen Gleichungen löst.

Im 3. Jahrhundert n. Chr. schuf der griechische Mathematiker Diophantos, ein Pionier der Zahlentheorie und Arithmetik, ein erstaunliches Werk, die Arithmetica. In 13 Bänden, von denen sechs erhalten sind, erforschte er 130 mathematische Probleme mit Gleichungen. Er benutzte als Erster ein Symbol für unbekannte Größen – eine Grundlage der Algebra. Erst in den letzten 100 Jahren haben Mathematiker diese Gleichungen, die man nun diophantische Gleichungen nennt, ganz erkundet. Sie gelten als einer der interessantesten Bereiche der Zahlentheorie.

Diophantische Gleichungen sind eine Art Polynomgleichungen: Gleichungen, in denen die Exponenten der Unbekannten natürliche Zahlen sind, wie etwa 4x³ + y⁴ = z⁵. Sie stellen die zusätzliche Bedingung, dass alle Lösungen nur ganze Zahlen sein dürfen. Die Koeffizienten (die konstanten Faktoren vor den Unbekannten, etwa die 4 in 4x³) sind ebenfalls ganzzahlig. Diophantos arbeitet nur mit positiven Zahlen, aber heute sucht man auch nach negativen Lösungen.

»Der Symbolismus, den Diophantos erstmals eingeführt hat, … gab einen kurzen und leicht verständlichen Weg, eine Gleichung auszudrücken.«

Kurt Vogel Deutscher Mathematikhistoriker Diophantus of Alexandria, in: Dictionary of Scientific Biography, 1970–1980

Die Suche nach Lösungen

Viele Probleme, die man heute diophantische Gleichungen nennt, waren lange vor Diophantos bekannt. Indische Mathematiker erkundeten sie ab etwa 800 v. Chr., wie die Texte der Sulbasutras zeigen. Im 6. Jahrhundert v. Chr. stellte Pythagoras den bekannten Satz für die Seiten rechtwinkliger Dreiecke auf. Geschrieben als x² + y² = z² und beschränkt auf ganzzahlige Lösungen ist er eine diophantische Gleichung.

Diophantische Gleichungen der Form xⁿ + yⁿ = zⁿ sehen einfach aus, aber nur die quadratischen sind lösbar. Ist der Exponent n größer als 2, hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen mehr für x, y und z – wie Fermat 1657 an den Rand eines Exemplars von Arithmetica notierte und Andrew Wiles erst 1994 beweisen konnte.

Eine Quelle der Faszination

Es gibt unendlich viele diophantische Gleichungen mit verschiedenen Koeffizienten und Exponenten, und fast alle sind sehr schwer zu lösen. David Hilbert meinte im Jahr 1900, die Frage, ob sie alle lösbar sind, sei eine der größten Herausforderungen der Mathematik.

Heute ordnet man die Gleichungen in drei Klassen: die ohne Lösungen, die mit endlich vielen Lösungen und die mit unendlich vielen Lösungen. Oft sind Mathematiker nicht an Lösungen selbst interessiert, sondern daran, ob überhaupt Lösungen existieren. 1970 beantwortete der Russe Juri Matijassewitsch Hilberts Frage, die er mit drei Kollegen jahrelang studiert hatte: Es existiert kein genereller Lösungsalgorithmus für diophantische Gleichungen. Doch man erforscht sie weiter, weil die Faszination vor allem theoretischer Natur ist. Mathematiker, von der Neugier getrieben, halten weitere Entdeckungen für möglich.

Die Arithmetica von Diophantos beeinflusste die Mathematiker im 17. Jh., als sie die moderne Algebra entwickelten. Diese Ausgabe wurde 1621 auf Latein veröffentlicht.

Diophantos

Über den griechischen Mathematiker und Philosophen Diophantos ist wenig bekannt. Vermutlich wurde er um 200 n. Chr. in Alexandria (Ägypten) geboren. Sein 13-bändiges Werk Arithmetica kam gut an. Die spätantike Mathematikerin Hypatia kommentierte die ersten sechs Bände. Arithmetica geriet aber in Vergessenheit, bis das Interesse im 16. Jahrhundert wieder auflebte.

Die Griechische Anthologie, eine Sammlung griechischer Gedichte, enthält einen erstmals um 500 n. Chr. veröffentlichten Text, der auf dem Grabstein von Diophantos gestanden haben soll. Das Zahlenrätsel lautete sinngemäß: Diophantos habe mit 35 Jahren geheiratet. Fünf Jahre später sei sein Sohn geboren, der mit 40 Jahren verstorben sei, als er gerade halb so alt wie sein Vater war. Diophantos habe dann weitere vier Jahre gelebt. Demnach wurde er 84 Jahre alt.

Hauptwerk

um 250 n. Chr. Arithmetica