Читать книгу Big Ideas. Das Mathematik-Buch - John Farndon - Страница 32

WIR TRENNEN DIE ZAHLEN WIE MIT EINEM SIEB

DAS SIEB DES ERATOSTHENES

IM KONTEXT

SCHLÜSSELFIGUR

Eratosthenes (um 276–194 v. Chr.)

TEILGEBIET

Zahlentheorie

FRÜHER

um 1500 v. Chr. Die Babylonier unterscheiden zwischen Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen.

um 300 v. Chr. In den Elementen (Buch IX, Lehrsatz 20) beweist Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

SPÄTER

Frühes 19. Jh. Carl Friedrich Gauß und Adrien-Marie Legendre stellen unabhängig eine Vermutung über die Dichte von Primzahlen auf.

1859 Bernhard Riemann stellt eine Vermutung über die Verteilung der Primzahlen auf. Mit ihr hat man viele andere Sätze bewiesen, aber die Vermutung selbst ist noch unbewiesen.

Neben der Berechnung des Umfangs der Erde und der Entfernung des Mondes von der Erde fand der griechische Universalgelehrte Eratosthenes eine Methode, um Primzahlen zu finden. Primzahlen – natürliche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind – hatten Mathematiker seit Jahrhunderten fasziniert. Sein »Sieb« – bei dem in einer Zahlentabelle alle Vielfachen von 2, 3, 5 und den anderen bekannten Primzahlen durchstreicht – machte sie deutlich leichter zugänglich.

Primzahlen haben genau zwei Faktoren: 1 und sich selbst. Die Griechen verstanden die Primzahlen als »Bausteine« für natürliche Zahlen. In den Elementen nannte Euklid viele Eigenschaften von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen (die durch Multiplikation mehrerer Zahlen entstehen). Etwa, dass jede natürliche Zahl entweder selbst eine Primzahl oder das Produkt von Primzahlen (den »Primfaktoren«) ist. Einige Jahrzehnte später fand Eratosthenes ein Verfahren, um theoretisch beliebig große Primzahlen zu finden, indem Vielfache bekannter Primzahlen in einem Zahlengitter, etwa von 1 bis 100 (siehe oben), »ausgesiebt« werden. Da 1 nicht als Primzahl gilt, ist 2 die erste Primzahl (und die einzige gerade). Alle anderen geraden Zahlen sind durch 2 teilbar und werden gestrichen. Damit müssen alle weiteren Primzahlen ungerade sein. Die nächste Zahl, 3, hat (außer 1 und sich selbst) keine Faktoren und ist daher prim; ihre Vielfachen aber sind nicht prim und werden ebenfalls gestrichen. Die Zahl 4 = 2 · 2 und ihre Vielfachen sind bereits gestrichen, da sie auch Vielfache von 2 sind. 5 ist wieder prim, ihre Vielfachen aber nicht. 6 und ihre Vielfachen sind bereits (als Vielfache von 2 und 3) ausgestrichen. 7 ist wieder prim, sodass man ihre noch nicht ausgestrichenen Vielfachen 49, 77 und 91 entfernt. Die Vielfachen von 8, 9 und 10 sind bereits entfernt (da sie auch Vielfache von 2, 3 oder 5 sind). Unter den Zahlen bis 100 sind die Vielfachen von 11 und größerer Primzahlen auch bereits entfernt (da sie kleinere Primfaktoren enthalten). Damit bleiben nur 25 Primzahlen unter 100, die man alle nur durch Entfernen der Vielfachen von 2, 3, 5 und 7 identifiziert hat.

Eratosthenes’ Methode beginnt mit einer Tabelle eines Zahlenbereichs. Zuerst streicht man die 1 aus, dann alle Vielfachen von 2, mit Ausnahme der 2 selbst. Ebenso geht man mit den Vielfachen von 3, 5 und 7 vor. Vielfache von Zahlen größer wie 7 sind bereits ausgestrichen (z. B. 8, 9, 10 sind Vielfache von 2, 3, 5).

Die Suche geht weiter

Primzahlen haben die Aufmerksamkeit von Mathematikern seit dem 17. Jahrhundert erregt, als Gelehrte wie Pierre de Fermat, Marin Mersenne, Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß ihre Eigenschaften genauer erforschten.

Selbst im Computerzeitalter ist es enorm aufwendig festzustellen, welche Primfaktoren eine große Zahl hat. So beruht die Verschlüsselung mit öffentlichem Schlüssel – die Basis der sicheren Internetkommunikation – auf der Wahl zweier sehr großer Primzahlen. Hacker müssten die Primfaktorzerlegung riesiger Zahlen berechnen. Sollte dies praktikabel werden, wären neue Verschlüsselungsmethoden nötig.

Eratosthenes

Der um 276 v. Chr. in Kyrene, einer griechischen Stadt in Libyen, geborene Eratosthenes studierte in Athen und wurde Mathematiker, Astronom, Geograf, Musikologe, Literaturkritiker und Dichter. Er war der Chefbibliothekar der Bibliothek von Alexandria, der größten akademischen Institution der antiken Welt. Eratosthenes gilt als Vater der Geografie, da er sie als akademische Disziplin begründete und benannte und einen Großteil der geografischen Begriffe einführte, die auch heute noch benutzt werden.

Er erkannte auch, dass die Erde kugelförmig ist, und berechnete ihren Umfang, indem er den Höhenwinkel der Sonne zu Mittag in Assuan in Südägypten und Alexandria im Norden des Landes verglich. Zudem erstellte er die erste Weltkarte, die Meridiane, den Äquator und sogar die Polargebiete zeigte. Er starb um 194 v. Chr.

Hauptwerke

Mensuram orae ad terram (»Über die Messung der Erde«)

Geographika (»Geografie«)