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Zeigen Sie mithilfe thermodynamischer Methoden, dass für ein ideales Gas πT = 0 ist und berechnen Sie πT für ein Van-der-Waals-Gas.

Vorgehen Die Anwendung thermodynamischer Methoden bedeutet, dass der Beweis auf der Grundlage allgemeiner thermodynamischer Beziehungen und Zustandsgleichungen erfolgen soll, ohne dass mikroskopische Argumente (wie die Existenz zwischenmolekularer Kräfte) einfließen. Für ein ideales Gas gilt bekanntermaßen p = nRT/V; diese Zustandsgleichung wird in Gl. (3-51) eingesetzt. Entsprechend setzen wir im zweiten Teil der Aufgabe die Van-der-Waals-Gleichung ein (siehe Tabelle 1-7).

Antwort Für ein ideales Gas ist

damit wird Gl. (3-51) zu

Die Van-der-Waals-Zustandsgleichung lautet

Da die Parameter a und b nicht von der Temperatur abhängen, erhält man

und es ergibt sich schließlich aus Gl. (3-51)

Dieses Ergebnis für πT zeigt, dass die Innere Energie eines Van-der-Waals-Gases bei isothermer Expansion zunimmt ((∂U/∂V)_T > 0) und dass das Ausmaß dieser Zunahme mit dem Parameter a im Zusammenhang steht, der die zwischenmolekulare Anziehung beschreibt: Ein größeres molares Volumen (also größere mittlere Abstände zwischen den Molekülen) bedeutet geringere mittlere Anziehungskräfte und führt daher zu einer größeren Gesamtenergie.