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Suite ; on ne peut nier l’existence de l’infini, sans arriver à des conséquences absurdes. Le temps, les grandeurs et les nombres sont infinis. - Double existence de l’infini, en puissance et en acte ; véritable notion de l’infini qui est toujours en puissance et n’est jamais en soi et en acte ; il est également par addition et par division ou retranchement. - Les deux infinis de Platon.

D’un autre côté, si l’on nie absolument l’existence de l’infini, on ne se crée pas moins d’impossibilités ; car il faudrait alors que le temps eût un commencement et une fin ; il faudrait que les grandeurs ne fussent pas divisibles en grandeurs et que le nombre ne fût pas infini.

Mais comme après les considérations qui viennent d’être présentées, il semble également impossible que l’infini soit et ne soit pas, il faut évidemment en conclure qu’en un sens l’infini existe et qu’en un sens il n’existe point.

Être peut signifier tantôt être en puissance, et tantôt être actuellement.

Et l’infini peut se former également soit par addition soit par retranchement.

Nous avons déjà démontré que la grandeur en acte ne peut être infinie ; mais elle peut l’être sous le rapport de la divisibilité ; car il est aisé de réfuter la théorie des lignes insécables. Reste donc que l’infini existe en puissance.

Mais quand on dit en puissance, on ne doit pas prendre cette expression dans le sens où l’on dit, par exemple, que, si telle matière peut devenir une statue, cette matière sera effectivement une statue ; et l’on ne doit pas croire qu’il y a de même un infini qui puisse exister actuellement. Mais comme le mot d’Être a plusieurs acceptions, il faut comprendre que l’infini peut être de la même manière qu’est le jour ou qu’est la période des jeux Olympiques, parce que sans cesse il devient autre et toujours autre. Car pour ces dates solennelles des Jeux, on peut distinguer aussi la puissance et l’acte puisque l’on compte les Olympiades à la fois par les jeux qui peuvent avoir lieu et par ceux qui ont lieu en effet actuellement.

Mais, évidemment, l’infini est tout autrement dans le temps, et dans la succession, par exemple, des générations humaines, qu’il n’est dans la divisibilité des grandeurs.

D’une manière générale, l’infini existe en tant qu’il peut toujours être pris quelque chose d’autre et de toujours autre, et que la quantité qu’on prend, bien que toujours finie, n’en est pas moins toujours différente et toujours différente. L’infini n’est donc pas à considérer comme quelque chose de spécial et de précis, un homme, par exemple, une maison ; mais il faut comprendre l’existence de l’infini comme on dit que sont le jour ou l’Olympiade, auxquels l’être n’appartient pas comme étant telle on telle substance, mais qui sont toujours à devenir et à périr, limité et fini sans doute, mais étant toujours autre et toujours autre.

Mais il y a cette différence, en ce qui concerne les grandeurs, que le phénomène a lieu, la quantité qu’on a prise subsistant et demeurant, tandis que pour les générations successives des hommes et pour le temps, ils s’éteignent et périssent de façon qu’il n’y ait jamais d’interruption ni de lacune.

Quant à l’infini par addition, il en est à peu près de même que pour l’infini par division. Car soit une quantité finie ; l’infini par addition s’y produit à l’inverse. En tant qu’on voit cette quantité finie divisée à l’infini, il paraîtra qu’on ajoute indéfiniment à la quantité déterminée. En effet si, dans une grandeur finie, on prend une partie qui reste toujours déterminée, et que l’on continue de prendre dans la même proportion, sans prendre une grandeur constamment égale de la grandeur entière, on n’épuise pas le fini. Mais ou l’épuisera, si l’on accroît la proportion de telle sorte qu’on prenne toujours la même quantité, parce que toute quantité finie doit finir par s’épuiser, si ou lui ôte toujours une quantité finie quelle qu’elle soit.

L’infini n’existe pas, si on le considère, autrement que je ne le fais ici ; mais il est de la façon que je viens de dire. La notion qu’il faut s’en faire, c’est qu’il est en puissance, par divisibilité ou retranchement ; et il n’est en acte que comme y est le jour, comme y est l’Olympiade. Il est en puissance comme la matière : et il n’est jamais eu soi comme le fini. Pour ce qui regarde l’addition, l’infini y est en puissance de la même façon à peu près où nous entendons qu’il y est aussi dans la division, attendu qu’il serait toujours possible d’en prendre quelque quantité nouvelle en dehors de ce qu’on a déjà.

Cependant, l’infini par addition ne dépassera point la grandeur finie tout entière, de même que dans la division il dépasse toujours la quantité finie en étant plus petit qu’elle. Par conséquent, surpasser toute la grandeur finie par addition successive n’est pas même possible en puissance, puisque l’infini en acte n’existe pas cumule attribut et accident, dans le sens où les physiciens regardent comme infini le corps qu’ils imaginent eu dehors du monde, et dont la substance est l’air ou tel autre élément analogue. Mais s’il ne se peut pas qu’un corps sensible de ce genre soit infini en acte, il est évident que l’infini ne peut pas davantage être en puissance par addition, si ce n’est à l’inverse de la division, ainsi qu’on vient de le dire.

Si donc Platon a également reconnu deux infinis, c’est que l’infini semble tout aussi bien se produire par l’addition, qui se développe sans cesse, que par le retranchement, qui peut de même être infini.

Il est vrai qu’après avoir admis ces deux infinis, Platon n’en fait aucun usage ; car, selon lui, dans les nombres il n’y a pas d’infini par retranchement, puisque l’unité est à ses yeux ce qu’il y a de plus petit ; et il n’y eu a pas davantage par accroissement, puisqu’il ne compte plus le nombre au-delà de la décade.