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Wir betrachten eine reversible adiabatische Expansion in einem Moment, wo sowohl der innere als auch der äußere Druck gleich p ist. Dehnt sich das Gas um dV aus, so wird die Arbeit dw = – p dV verrichtet. Für ein ideales Gas ist dU = C_V dT und im Falle einer adiabatischen Änderung (dq = 0) gilt dU = dq + dw = dw; wir können daher beide Ausdrücke für dU gleichsetzen:

Da es sich um ein ideales Gas handelt, können wir p durch nRT/ V ersetzen:

Um diesen Ausdruck zu integrieren, überlegen wir uns, dass zu Beginn der Expansion T = T_a für V = V_a und am Ende der Expansion T = T_E für V = V_E gilt Das bedeutet

(CV soll nicht von der Temperatur abhängen.) Wegen ∫ dx/x = ln x + Konstante erhalten wir

was wir mithilfe der Beziehung ln(x/y) = – ln(y/x) umwandeln können in

Mit c = CV/nR (und ln xa = a ln x) ergibt sich

also (T_E/T_A)^c = (V_A/ V_E); dies lässt sich unmittelbar zu Gl. (2-28) umformen.

Im Anfangs- und um Endzustand des idealen Gases ist die Zustandsgleichung pV = nRT erfüllt gleichgültig auf welchem Weg die Zustandsänderung stattfindet. Daher ist

Wie wir aber gerade gezeigt haben, ist

wenn wir das Verhältnis γ der Wärmekapazitäten gemäß der Definition γ = C_p,m/C_V,m und die molare Version von Gl. (2-26), C_p,m – C_V,m = R (für ideale Gase), einsetzen. Wir fassen beide Beziehungen zusammen und erhalten

Durch Umstellen folgt unmittelbar Gl. (2-29),