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Die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variabler, beispielsweise f (x, y), nach einer Variablen ist die Steigung der Funktion bezüglich dieser Variablen, wenn alle anderen Variablen konstant gehalten werden (siehe Abb. ME2-1). Obwohl die partielle Ableitung damit nur die Änderung der Funktion bei Änderung einer Variablen angibt, ist sie doch auch nützlich, um die Änderung der Funktion zu beschreiben, wenn sich mehrere Variablen um infinitesimale Beträge ändern. Der Wert einer Funktion f, die von den Variablen x und y abhängt, ändert sich bei Änderung von x um dx und von y um dy um

(ME2.1)

wobei die Verwendung des Symbols ∂ anstelle von d anzeigt, dass es sich um eine partielle Ableitung handelt. Der tiefgestellte Index an den Klammern deutet die Variablen an, die bei der Bildung der jeweiligen Ableitung konstant gehalten werden. Die Größe d f wird als das Differenzial von f bezeichnet. Partielle Ableitungen können in beliebiger Reihenfolge gebildet werden,

(ME2.2)

Abb. ME2.1 Eine Funktion f(x, y) von zwei Variablen, dargestellt durch die farbige Fläche, und ihre partiellen Ableitungen (∂f/∂x)y und (∂f/∂y)x, die Steigungen der Funktion parallel zur x-bzw.y-Achse. Die gezeigte Funktion ist f (x, y) = ax³ y + by2 mit a = 1und b = –2