Читать книгу Die Schwerkraft ist kein Bauchgefühl - Florian Aigner - Страница 19

Wie man mit logischen Argumenten Lebensträume zerstört, warum manche Aussagen weder wahr noch falsch sind und wie der größte Logiker der Welt ein höchst unlogisches Ende fand: Die Mathematik kann niemals alles beweisen, aber das muss sie auch nicht.

Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer der Stadt, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich also selbst oder nicht? Wenn nicht, dann gehört er zu den Männern, die sich nicht selbst rasieren, und sollte daher vom Barbier von Sevilla rasiert werden. Aber wenn er das tut, rasiert er sich ja selbst und ist deshalb gar nicht für den eigenen Bart zuständig. Was nun?

Elegant auflösen lässt sich das Problem, wenn man annimmt, dass der Barbier von Sevilla eine Frau ist. Aber wie auch immer – diese berühmte Denkaufgabe zeigt uns, dass man in der mathematischen Logik manchmal auf Probleme stoßen kann: Wenn aus einem Satz sein Gegenteil folgt – was machen wir dann? So wunderschön und nützlich die Methode des axiomatischen, logischen Argumentierens auch ist: Wenn ein logischer Widerspruch auftritt, haben wir ein ernstes Problem.

Widersprüche dieser Art sind nicht neu, man kannte sie schon in der Antike. „Alle Kreter sind Lügner!“, behauptete Epimenides. Das ist nicht besonders nett, aber logisch gesehen noch kein Problem – bis man erfährt, dass Epimenides selbst aus Kreta kommt. Wenn seine Aussage stimmt, muss er also auch selbst ein Lügner sein. Dann stimmt die Aussage aber nicht, und er spricht möglicherweise doch die Wahrheit, woraus aber wiederum folgen würde, dass er lügt. Egal, wie sehr man sich das Hirn verbiegt, man kommt auf kein sinnvolles Ergebnis.

Wir sehen aber an diesen Beispielen bereits: Vorsichtig sein muss man immer dann, wenn eine Aussage etwas über sich selbst behauptet. Manchmal ist das völlig in Ordnung: „Dieser Satz besteht aus sechs Wörtern“ ist wahr. „Dieser Satz beginnt mit dem Buchstaben A“ ist falsch. Beides ist aus logischer Sicht kein Problem. Aber „Dieser Satz ist falsch“ ist eine Aussage, der wir keinen Wahrheitswert zuordnen können – weder wahr noch falsch. Könnte es passieren, dass solche merkwürdigen falschwahren Aussagen auch in der Mathematik auftreten? Und ist das vielleicht eine Gefahr für die Zuverlässigkeit der Mathematik?