Читать книгу Geschichte der abendländischen Philosophie - Anthony Kenny - Страница 18

Gottlob Frege (1848–1925) war zu seinen Lebzeiten nur wenigen Menschen bekannt, nach seinem Tode sollte er jedoch einen einzigartigen Platz in der Geschichte der Philosophie einnehmen. Er war der Erfinder der modernen mathematischen Logik und ein herausragender Philosoph der Mathematik. Er wird von vielen als Begründer derjenigen Richtung der Philosophie verehrt, die seit langer Zeit an den englischsprachigen Universitäten vorherrscht: der analytischen Philosophie, deren Hauptanliegen die Analyse der sprachlichen Bedeutung ist. Es war sein Einfluss – in Großbritannien durch Bertrand Russell und auf dem europäischen Kontinent durch Edmund Husserl vermittelt –, der zur sprachanalytischen Wende der Philosophie führte, die für das 20. Jahrhundert so charakteristisch war.

Frege wurde in eine lutheranische Lehrerfamilie geboren, die in Wismar an der deutschen Ostseeküste lebte. Sein Vater starb, als er noch nicht volljährig war, und er wurde während seiner restlichen Schulzeit und als Student von seiner Mutter unterstützt, die nach dem Tod ihres Mannes Leiterin der Mädchenschule wurde, die sein Vater gegründet hatte. Frege ging 1869 an die Universität Jena, wechselte aber nach vier Semestern nach Göttingen, wo er 1873 mit einer Dissertation zu einem Thema der Geometrie promovierte. 1874 kehrte er als unbezahlter Privatdozent nach Jena zurück. Er lehrte 44 Jahre an der dortigen mathematischen Fakultät. 1879 wurde er zum Professor ernannt. Abgesehen von seinen intellektuellen Aktivitäten verlief sein Leben ereignislos und zurückgezogen. Nur wenige seiner Kollegen machten sich die Mühe, seine Bücher und Aufsätze zu lesen, und er hatte Schwierigkeiten, für sein wichtigstes Werk einen Herausgeber zu finden.

Freges produktive Lebensphase begann im Jahre 1879 mit der Veröffentlichung einer Streitschrift mit dem Titel Begriffsschrift. Die Begriffsschrift, die dem Buch seinen Titel gab, war ein neuer Symbolismus, der die logischen Beziehungen, die die Umgangssprache verdeckt, deutlich hervortreten lassen sollte. Frege verwendete sie zur Entwicklung eines neuen Systems, das im Zentrum der modernen Logik einen dauerhaften Platz hat: des Aussagenkalküls. Hierbei handelt es sich um denjenigen Zweig der Logik, der sich mit Schlussfolgerungen beschäftigt, deren Gültigkeit von der Bedeutung der Negation, Konjunktion, Distinktion usw. abhängen, wenn diese auf ganze Sätze angewendet werden. Sein Grundprinzip besteht darin, dass der Wahrheitswert (d.h. die Wahrheit bzw. Falschheit) eines Satzes, der Junktoren wie „und“, „wenn“ und „oder“ enthält, ausschließlich von den Wahrheitswerten der Teilsätze abhängt, die durch die Junktoren verbunden werden. Zusammengesetzte Sätze wie zum Beispiel „Schnee ist weiß und Gras ist grün“ werden, um es mit dem technischen Ausdruck der Logiker zu bezeichnen, als Wahrheitsfunktionen ihrer Elementarsätze – wie etwa „Schnee ist weiß“ und „Gras ist grün“ – behandelt.

Die Aussagenlogik war in der Antike von den Stoikern und im Mittelalter von Ockham und anderen studiert worden;2 doch es war Frege, der ihr als Erster eine systematische Formulierung gab. Die Begriffsschrift stellt das Aussagenkalkül auf eine axiomatische Weise dar, in der sämtliche Gesetze der Aussagenlogik durch eine spezielle Methode des logischen Schließens von einer Reihe elementarer Aussagen abgeleitet werden. Der konkrete Symbolismus, den Frege für diesen Zweck erfunden hatte, lässt sich nur schwer drucken, und er wurde schon längst durch eine andere Darstellung des Kalküls ersetzt. Die Operationen, die er ausdrückt, sind für die mathematische Logik jedoch nach wie vor von grundlegender Bedeutung.

Freges bedeutendster Beitrag zur Logik war jedoch nicht der Aussagenkalkül, sondern die Prädikatenlogik. Hierbei handelt es sich um denjenigen Zweig der Logik, der sich mit der inneren Struktur von Aussagen beschäftigt, statt sie als atomare Einheiten zu betrachten. Frege erfand eine neuartige Schreibweise für die Quantifizierung, d.h. eine Methode, mit der sich Schlussfolgerungen, deren Gültigkeit von Ausdrücken wie „alle“ oder „einige“, „nicht“ oder „keine“ abhängt, symbolisieren und rigoros darstellen lassen. Mithilfe dieser Schreibweise stellte er eine Prädikatenlogik vor, die einen wesentlichen Fortschritt gegenüber der aristotelischen Syllogistik bedeutete, die man bis dahin für das A und O der Logik gehalten hatte. Freges Methode erlaubte es der formalen Logik, erstmals mit Sätzen fertig zu werden, die mehrere Quantifikationen enthielten, wie zum Beispiel „Niemand weiß alles“ und „Jeder Junge liebt irgendein Mädchen“.3

Obwohl die Begriffsschrift in der Geschichte der Logik ein klassischer Text ist, hatte der Zweck, zu dem Frege sie verfasst hatte, mehr mit der Mathematik als mit der Logik zu tun. Zusätzlich zu einem formalen System der Logik wollte er ein formales System der Arithmetik vorstellen und was ihm am wichtigsten war: Er wollte zeigen, dass die beiden Systeme eng verbunden waren. Er behauptete, es lasse sich zeigen, dass alle Wahrheiten der Arithmetik aus Wahrheiten der Logik ableitbar waren, ohne dazu irgendeiner weiteren Hilfe zu bedürfen. Wie diese These (die später als Logizismus bezeichnet wurde) bewiesen werden könne, war in der Begriffsschrift skizziert worden und sollte in zwei späteren Werken, den Grundlagen der Arithmetik von 1884 und den Grundgesetzen der Arithmetik von 1893 und 1903, ausführlicher dargestellt werden.

Der wichtigste Schritt in Freges logizistischem Programm bestand in der Definition der arithmetischen Begriffe, wie zum Beispiel des Begriffs der Zahl, in rein logischen Begriffen, wie zum Beispiel dem Begriff der Klasse. Frege gelang dies, indem er die Kardinalzahlen als Klassen äquivalenter Klassen behandelte, das heißt als Klassen mit derselben Anzahl von Elementen. So ist beispielsweise die Zahl Zwei die Klasse der Paare und die Zahl Drei die Klasse der Trios. Auf den ersten Blick erscheint eine solche Definition zirkulär. Dies ist jedoch nicht der Fall, da sich der Begriff der Äquivalenz von Klassen ohne die Verwendung des Begriffs der Zahl definieren lässt. Zwei Klassen sind einander äquivalent, wenn sie restlos aufeinander abgebildet werden können. Um eins von Freges eigenen Beispielen anzuführen: Ein Kellner kann wissen, dass sich auf einem Tisch ebenso viele Messer wie Teller befinden, ohne zu wissen, wie viele Messer und Teller auf dem Tisch liegen. Er muss lediglich feststellen, dass sich rechts neben jedem Teller ein Messer und links von jedem Messer ein Teller befindet.

So könnten wir beispielsweise die Zahl Vier als die Klasse aller Klassen definieren, die der Klasse der Evangelisten äquivalent ist. Doch eine solche Definition würde für den Zweck des logistischen Programms nutzlos sein, weil die Tatsache, dass es vier Evangelisten gab, nicht zur Logik gehört. Frege muss für jede Zahl nicht nur eine Klasse der richtigen Größe finden, sondern auch eine Klasse, deren Größe durch die Logik garantiert ist. Er beginnt hier mit der Null als der ersten Zahl der Reihe der Zahlen. Sie lässt sich in rein logischen Begriffen als die Klasse aller Klassen definieren, die derjenigen Klasse äquivalent sind, deren Objekte nicht mit sich selbst identisch sind. Diese Klasse enthält offensichtlich keine Elemente (die „Null-Klasse“). Anschließend können wir die Zahl Eins als die Klasse aller Klassen definieren, die derjenigen Klasse äquivalent sind, deren einziges Element Null ist. Um von diesen Definitionen zu den Definitionen der anderen natürlichen Zahlen fortzuschreiten, muss Frege den Begriff des Folgens in dem Sinne definieren, in dem in der Reihe der Zahlen Drei auf Zwei und Vier auf Drei folgt. Er definiert „n folgt unmittelbar auf m“ auf folgende Weise: „Es gibt einen Begriff F und einen unter ihn fallenden Gegenstand x der Art, dass die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, n ist, und dass die Anzahl, welche dem Begriffe ‚unter F fallend aber nicht gleich x‘ zukommt, m ist.“4 Mithilfe dieser Definition können die anderen Zahlen definiert werden, ohne irgendwelche anderen logischen Begriffe wie zum Beispiel Identität, Klasse und Klassenäquivalenz zu verwenden.

Die Begriffsschrift ist ein sehr nüchternes und formales Werk. Die Grundlagen der Arithmetik stellen das logizistische Programm wesentlich vollständiger, jedoch auch wesentlich informeller dar. Symbole kommen darin kaum vor, und Frege bemüht sich sehr darum, sein Werk zu dem anderer Philosophen in Beziehung zu setzen. Kant zufolge hängt unsere arithmetische und geometrische Erkenntnis von der Anschauung ab. In der Kritik der reinen Vernunft hatte er behauptet, dass mathematische Wahrheiten synthetische Wahrheiten a priori sind, d.h. dass sie, obwohl sie genuin informativ sind, dennoch vor aller Erfahrung gewusst werden.5 John Stuart Mill hatte, wie wir gesehen haben, behauptet, bei mathematischen Aussagen handle es sich um empirische Verallgemeinerungen, die weithin anwendbar und weitgehend bestätigt waren, aber dennoch a posteriori. Frege stimmte Kant gegen Mill darin zu, dass das mathematische Wissen apriorischer Natur war, und wie Kant glaubte auch er, dass die Geometrie auf Anschauung basiert. Doch seine These, die Arithmetik sei ein Zweig der Logik, bedeutete, dass sie nicht synthetisch war, wie Kant behauptet hatte, sondern analytisch. Wenn Frege Recht hatte, basierte sie ausschließlich auf allgemeinen Gesetzen, die in jedem Bereich des Wissens gültig waren und keiner Unterstützung durch empirische Tatsachen bedurften. Die Arithmetik besaß ebenso wenig einen eigenen Gegenstandsbereich wie die Logik.

Die Grundlagen enthielten zwei Thesen, die Frege für bedeutsam hielt: Die eine besagt, dass jede einzelne Zahl ein für sich selbst existierender Gegenstand ist, die andere, dass der Inhalt einer Aussage, die eine Zahl zuordnet, eine Aussage über einen Begriff ist. Auf den ersten Blick scheinen diese beiden Aussagen einander widerstreitend, doch wenn wir verstanden haben, was Frege unter einem „Begriff“ und einem „Gegenstand“ versteht, erkennen wir, dass dies nicht der Fall ist.

Mit der Behauptung, dass eine Zahl ein Gegenstand ist, will Frege nicht sagen, dass sie etwas Greifbares wie ein Busch oder eine Kiste ist. Es geht ihm vielmehr darum, zwei Dinge zu bestreiten: Erstens bestreitet er, dass eine Zahl eine Eigenschaft von irgendetwas ist. Wenn wir drei blinde Mäuse vor uns haben, ist die Dreiheit keine Eigenschaft irgendeiner Maus, wie dies für die Blindheit zutrifft. Zweitens bestreitet er, dass eine Zahl irgendetwas Subjektives ist, ein Bild oder eine Idee oder irgendeine Eigenschaft eines Element des Geistes.

Begriffe haben für Frege eine vom Geist des Menschen unabhängige Existenz, sodass kein Widerspruch zwischen der Behauptung besteht, dass Zahlen Gegenstände und dass Zahlen Aussagen über Begriffe sind. Mit dieser zweiten Behauptung will Frege sagen, dass eine Aussage wie „Die Erde hat einen Mond“ dem Begriff Mond der Erde die Zahl Eins zuordnet. In ähnlicher Weise ordnet der Satz „Die Venus hat keine Monde“ dem Begriff Mond der Venus die Zahl Null zu. In letzterem Fall ist es völlig klar, dass es keinen Mond gibt, der eine Zahl als seine Eigenschaft haben könnte, alle Aussagen über Zahlen müssen jedoch auf dieselbe Weise behandelt werden.

Wenn derartige Aussagen über Zahlen Aussagen über Begriffe sind: Was für eine Art von Gegenstand ist dann eine Zahl selbst? Freges Antwort auf diese Frage lautet, dass eine Zahl der Umfang eines Begriffes ist. Er sagt, dass die Zahl, die zu dem Begriff F gehört, der Umfang des Begriffes „gleichzahlig mit dem Begriff F“ ist. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass sie die Klasse aller Klassen ist, die die gleiche Anzahl von Elementen haben wie die Klasse der Fs, wie wir weiter oben erklärt haben. Freges Theorie, dass Zahlen Gegenstände sind, hängt demnach von der Möglichkeit ab, Klassen wie Gegenstände zu behandeln.

In den Jahren nach der Veröffentlichung der Grundlagen veröffentlichte Frege eine Reihe bahnbrechender Aufsätze über die Philosophie der Sprache. Drei erschienen in den Jahren 1891–1892: „Funktion und Begriff“, „Über Sinn und Bedeutung“ sowie „Über Begriff und Gegenstand“. Jeder dieser Aufsätze war eine erstaunlich knappe und klare Darstellung origineller philosophischer Ideen von großer Tragweite. Von Frege selbst wurden sie zweifellos als bloße Ergänzungen zu seinen Arbeiten über das Wesen der Mathematik angesehen, doch gegenwärtig betrachtet man sie als klassische Texte, die die moderne Semantik begründeten.6

Zwischen 1884 und 1893 arbeitete Frege an einer Abhandlung, den Grundgesetzen der Arithmetik, die der Höhepunkt seiner intellektuellen Laufbahn hätte sein sollen. Darin sollte auf umfassende und formale Weise die logizistische Konstruktion der Arithmetik aus der Logik dargelegt werden. Die Aufgabe bestand darin, eine Reihe von Axiomen aufzustellen, bei denen es sich eindeutig um logische Wahrheiten handelte, eine Reihe von unbezweifelbar gültigen Schlussregeln darzulegen und dann im Ausgang von diesen Axiomen mithilfe dieser Regeln nacheinander die üblichen Wahrheiten der Arithmetik abzuleiten. Diese Ableitung sollte einen Umfang von drei Bänden haben, von denen nur zwei fertiggestellt waren. Der erste behandelte die natürlichen Zahlen und der zweite die negativen, irrationalen und komplexen Zahlen sowie die Brüche.

Freges ehrgeiziges Projekt wurde abgebrochen, bevor es abgeschlossen wurde. Zwischen der Veröffentlichung des ersten Bandes im Jahre 1893 und des zweiten im Jahre 1903 erhielt Frege den Brief eines englischen Philosophen, Bertrand Russell, der darauf hinwies, dass das fünfte der zu Anfang aufgestellten Axiome das gesamte System inkonsistent mache. Faktisch stellte dieses Axiom fest, dass, wenn jedes F ein G ist und jedes G ein F, die Klasse der Fs mit der Klasse der Gs identisch ist und umgekehrt. Es war das Axiom, das in Freges eigenen Worten den Übergang von einem Begriff zu seinem Umfang erlaubte, den Übergang von Begriffen zu Klassen, der unerlässlich war, wenn es möglich sein sollte zu beweisen, dass Zahlen logische Gegenstände sind.

Wie Russell zeigte, bestand das Problem darin, dass das System es mit diesem Axiom erlaubte, ohne Einschränkung Klassen von Klassen zu bilden und Klassen von Klassen von Klassen usw. Klassen müssen selbst klassifizierbar sein. Kann dann eine Klasse sich selbst als Element enthalten? Auf die meisten Klassen trifft dies nicht zu (die Klasse der Menschen ist kein Mensch), doch für einige scheint es zu gelten (zum Beispiel ist die Klasse der Klassen gewiss selbst eine Klasse). Es scheint daher zwei Klassen zu geben: solche, die sich selbst als ein Element enthalten, und solche, auf die dies nicht zutrifft. Doch die Bildung der Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst als eins ihrer Elemente enthält, führt auf ein Paradoxon: Wenn sie sich selbst als eines ihrer Elemente enthält, ist sie kein Element ihrer selbst, und wenn sie sich nicht selbst als eines ihrer Elemente enthält, ist sie ein Element ihrer selbst. Ein System, das auf einen solchen Widerspruch führt, kann logisch nicht tragfähig sein.

Der zweite Band der Grundgesetze befand sich bereits in Druck, als Russells Brief eintraf. Vollkommen niedergeschlagen beschrieb Frege das Paradoxon in einem Anhang und versuchte, das System zu korrigieren, indem er das problematische Axiom abschwächte. Doch dieses revidierte System erwies sich seinerseits als inkonsistent. Nachdem Frege 1918 seine Lehrtätigkeit in Jena eingestellt hatte, scheint er seine Überzeugung, die Arithmetik könne aus der Logik abgeleitet werden, aufgegeben zu haben und zur Auffassung Kants, dass ihre Sätze, wie diejenigen der Geometrie, synthetische Sätze a priori sind, zurückgekehrt zu sein.

Wir wissen heute, dass das logizistische Programm undurchführbar ist. Der Weg von den Axiomen der Logik zu den Lehrsätzen der Arithmetik ist doppelt versperrt. Erstens war die naive Mengenlehre, die ein Teil von Freges logischen Grundannahmen war, wie Russell gezeigt hatte, selbst inkonsistent. Zweitens wurde der Begriff der „Axiome der Arithmetik“ selbst fragwürdig, als später (im Jahre 1931, durch den österreichischen Mathematiker Kurt Gödel) bewiesen wurde, dass es unmöglich ist, ein vollständiges und konsistentes System von Axiomen für die Arithmetik aufzustellen.

Dennoch war Freges philosophisches Erbe von enormem Einfluss. Er verglich den Mathematiker häufig mit einem Geografen, der neue Kontinente kartografiert. Seine eigene Karriere als Denker glich derjenigen von Christoph Kolumbus als Entdecker. Wie es Kolumbus nicht gelang, einen Seeweg nach Indien zu finden, dafür Europa aber mit einem neuen Kontinent bekannt machte, misslang es Frege zwar, die Arithmetik aus der Logik abzuleiten, doch gelangen ihm Neuerungen in der Logik und Fortschritte in der Philosophie, die die Landkarte beider Fächer auf Dauer veränderten. Wie Kolumbus versank Frege in Mutlosigkeit und Depression; er sollte niemals erfahren, dass er der Gründer einer einflussreichen philosophischen Bewegung war. Doch er verlor nicht alle Hoffnung, dass sein Werk einen Wert hatte. Als er kurz vor seinem Tod im Jahre 1925 seinem Sohn seinen Nachlass anvertraute, schrieb er ihm, er solle nicht verachten, was er geschrieben habe. Wenn auch nicht alles Gold sei, so sei doch Gold darunter.