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DAS QUADRAT ALS HÖCHSTE POTENZ

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN

IM KONTEXT

SCHLÜSSELZIVILISATIONEN

Ägypter (um 2000 v. Chr.),

Babylonier (um 1600 v. Chr.)

TEILGEBIET

Algebra

FRÜHER

um 1800 v. Chr. Der Papyrus Berlin 6619 zeigt die Lösung einer quadratischen Gleichung aus dem alten Ägypten.

SPÄTER

7. Jh. n. Chr. Der Inder Brahmagupta findet positive ganzzahlige Lösungen für einige quadratische Gleichungen.

10. Jh. n. Chr. Der Ägypter Abu Kamil Schudscha ibn Aslam löst quadratische Gleichungen mit negativen und irrationalen Zahlen.

1545 Der italienische Arzt und Mathematiker Gerolamo Cardano beschreibt in Ars Magna algebraische Regeln.

Quadratische Gleichungen beinhalten eine unbekannte Zahl (meist x geschrieben), die als zweite Potenz (quadratisch: x²) vorkommt, aber nicht als höhere Potenz: x³, x⁴ usw. Ein Nutzen der Mathematik ist, mit Gleichungen Probleme der realen Welt zu lösen. Geht es um Flächen oder bestimmte Kurven wie Parabeln, sind quadratische Gleichungen nützlich und beschreiben physikalische Phänomene wie etwa die Flugbahn eines Balls.

Uralte Wurzeln

Die Geschichte der quadratischen Gleichungen erstreckt sich über die ganze Welt. Sie kamen vermutlich erstmals auf, um Fragen der Erbteilung von Land oder Probleme der Addition und Multiplikation zu lösen.

Eines der ältesten erhaltenen Beispiele einer quadratischen Gleichung findet sich in einem altägyptischen Text, dem Papyrus Berlin 6619 (um 1800 v. Chr.). Darin wird eine Aufgabe gestellt: Ein Quadrat der Fläche 100 Quadrat-Ellen hat die gleiche Fläche wie zwei kleinere Quadrate. Die Seitenlänge x des kleinsten Quadrats ist die Hälfte plus ein Viertel der Seitenlänge y des anderen kleinen Quadrats. In moderner Notation ergeben sich zwei Gleichungen die gleichzeitig erfüllt sein müssen: x² + y² = 100 und x = (½ + ¼) · y = ¾ y. Sie lassen sich zu einer quadratischen Gleichung (¾ y)² + y² = 100 vereinfachen.

Um die Lösung zu finden, verwendeten die Ägypter ein Verfahren, das heute Regula-falsi-Methode (»Regel des Falschen«) heißt. Dazu wählt man für die Unbekannte einen »Ansatz«, eine beliebige »falsche« Zahl (meist eine, mit der leicht zu rechnen ist), und berechnet damit den Wert der Gleichung. Dann variiert man den Ansatz, um den richtigen Wert zu erhalten. In der Aufgabe des Berliner Papyrus ist der einfachste Ansatz 4 für die Seitenlänge y des größeren der kleinen Quadrate, weil man Viertel berechnen muss. Dann wäre die Seitenlänge x des kleineren Quadrats 3 (nämlich ¾ des größeren). Die Flächen der Quadrate wären dann 16 und 9, was zusammen 25 ergibt. Das ist nur ¼ des gewünschten Ergebnisses von 100. Man muss also die »falschen« Flächen vervierfachen, d. h. man muss die »falschen« Seitenlängen (4 und 3) verdoppeln und erhält so die richtigen Seitenlängen x = 6 und y = 8.

Der Berliner Papyrus, 1900 von dem deutschen Ägyptologen Hans Graf von Schack-Schackenburg veröffentlicht, enthält zwei mathematische Probleme, darunter eine quadratische Gleichung.

Weitere Belege für quadratische Gleichungen finden sich in babylonischen Tontafeln: Die Diagonale eines Quadrats wurde bis auf fünf Nachkommastellen genau angegeben. Die Tafel Yale Babylonian Collection (YBC) 7289 (um 1800–1600 v. Chr.) zeigt eine Lösungsmethode für die quadratische Gleichung x² = 2, bei der man Rechtecke zeichnet und zu Quadraten verkleinert. Im 7. Jahrhundert n. Chr. beschrieb der indische Mathematiker Brahmagupta eine Lösung für quadratische Gleichungen der Form ax² + bx = c. Er verwendete noch keine Symbole, doch was er in Worten beschrieb, entsprach dieser Notation.

Für quadratische Gleichungen gibt es eine Lösungsformel (»Mitternachtsformel«, weil Schüler sie wissen sollten, wenn man sie um Mitternacht weckt). Um sie zu benutzen schreibt man quadratische Gleichungen als Zahl a, multipliziert mit x², plus einer Zahl b mal x plus einer Zahl c gleich Null auf. Die Lösungen sind grafisch leicht zu sehen: die Punkte, an denen die Kurve die x-Achse schneidet. Die Abbildung unten zeigt, wie man a, b und c in die Formel einsetzt, um die zwei Lösungen x₁ und x₂ zu berechnen.

Im 8. Jahrhundert benutzte der persische Mathematiker al-Chwarizmi eine geometrische Lösungsmethode für quadratische Gleichungen, die heute quadratische Ergänzung heißt. Bis ins 10. Jahrhundert waren geometrische Methoden üblich, weil es eher um praktische Fragen, etwa der Landvermessung, als um abstrakte algebraische Herausforderungen ging.

Negative Lösungen

Indische, persische und arabische Gelehrte hatten bis dahin nur positive Zahlen benutzt. Für die Gleichung x² + 10x = 39 etwa gaben sie die Lösung 3 an. Doch das ist nur eine der beiden korrekten Lösungen des Problems, –13 ist die andere: Für x = –13 ist x² = 169 und 10x = –130. Das Addieren einer negativen Zahl entspricht dem Subtrahieren der Positiven: 169 + (– 130) = 169 – 130 = 39.

Im 10. Jahrhundert verwendete der ägyptische Gelehrte Abu Kamil Schudscha ibn Aslam negative Zahlen und irrationale Zahlen (etwa die Quadratwurzel von 2) sowohl als Lösungen als auch als Koeffizienten (Zahlenfaktoren vor der Unbekannten in der Gleichung). Im 16. Jahrhundert hatten die meisten Mathematiker negative Lösungen und irrationale Wurzeln (die sich nicht als genaue Dezimalzahl schreiben lassen) akzeptiert. Man hatte auch angefangen, Ausdrücke mit Symbolen statt in Worten zu schreiben. Das Plusminuszeichen (±) kam in Lösungen quadratischer Gleichungen auf. So ist die Lösung von x² = 2 nicht nur x = , sondern x_1,2 = ±, d. h. die Wurzel kann positiv oder negativ sein, denn die Multiplikation zweier negativer Zahlen ist auch positiv: (– ) · (– ) = 2.

1545 veröffentlichte der Italiener Gerolamo Cardano Artis Magna, sive de Regulis Algebraicis (»Große Kunst«, oder »Algebraische Regeln«), in dem folgendes Problem vorkommt: »Welche zwei Zahlen haben die Summe 10 und das Produkt 40?« Das Problem führt auf eine quadratische Gleichung und zu den Lösungen 5 ±. Keine der damals bekannten Zahlen ergab eine negative Zahl, wenn man sie mit sich selbst multiplizierte, aber Cardano schlug vor, dennoch mit der Quadratwurzel der negativen Zahl zu rechnen, um die beiden Lösungen zu finden. Zahlen wie nennt man heute imaginäre Zahlen.

Struktur von Gleichungen

Heute schreibt man quadratische Gleichungen als ax² + bx + c = 0. Darin sind a, b und c bekannte Zahlen (Koeffizienten) und x die unbekannte Zahl. Gleichungen enthalten Variablen (Symbole für Unbekannte), Koeffizienten und Konstanten (feste Zahlen) sowie Operatoren (Rechenzeichen wie Plus- oder Gleichheitszeichen). Terme nennt man Ausdrücke, die von Operatoren getrennt werden. Das können Zahlen, Variablen oder Kombinationen beider sein. Die quadratische Gleichung in moderner Notation hat vier Terme: ax², bx, c und 0.

»Politik ist für die Gegenwart, aber eine Gleichung ist etwas für die Ewigkeit.«

Albert Einstein

Der Graph einer quadratischen Funktion y = ax² + bx + c ist eine etwa u-förmige Kurve, die man Parabel nennt. Diese Abbildung zeigt den Graph der Funktion für a = 1, b = 3 und c = 2, also y = x² + 3x + 2. Ganzzahlige Werte sind als schwarze Punkte hervorgehoben. Die Nullstellen sind diejenigen x, für die y = 0 gilt, in denen also die Kurve die x-Achse schneidet. Hier: x = –2 und x = –1.

Parabeln

Eine Funktion stellt die Beziehung zwischen Variablen (oft x, y) dar. Der Graph einer quadratischen Funktion y = ax² + bx + c beschreibt eine Kurve, die man Parabel nennt (siehe oben). Lösungen von ax² + bx + c = 0 heißen Nullstellen. Wenn reelle (nicht imaginäre) Nullstellen existieren, dann schneidet die Kurve die x-Achse. Nicht alle Parabeln schneiden die x-Achse zweimal. Berührt die Parabel die x-Achse nur in einem Punkt, sind die zwei Lösungen gleich (doppelte Nullstelle). Der einfachste Fall ist y = x². Schneidet die Parabel die x-Achse gar nicht, gibt es keine reellen Lösungen.

Parabeln haben wichtige Anwendungen. So haben Satellitenschalen eine parabolische Form, weil alle Signale aus einer Richtung (vom Satelliten) dann so reflektiert werden, dass sie an einem einzigen Punkt auftreffen: dem Empfänger.

Ein Parabolspiegel ist ein Paraboloid (ein Körper, der durch die Rotation einer Parabel entsteht). Lichtstrahlen parallel zur Symmetrieachse werden im Brennpunkt A gesammelt.

Anwendungen

Zwar dienten quadratische Gleichungen ursprünglich zur Lösung geometrischer Probleme, doch heute sind sie in vielen Bereichen der Mathematik, Wissenschaft und Technik wichtig. So werden etwa Flugbahnen damit modelliert: Wirft man ein Objekt in die Höhe, fällt es durch die Schwerkraft wieder nach unten. Die Höhe in Abhängigkeit der Zeit kann durch eine quadratische Funktion angegeben werden. Generell beschreiben quadratische Gleichungen oft die Beziehung zwischen Zeit, Strecke und Geschwindigkeit und sie sind bei Berechnungen von paraboloiden Objekten wie Linsen ein wichtiges Hilfsmittel. Auch ökonomische Vorhersagen nutzen sie. Unternehmen stellen eine quadratische Gleichung, (Gewinnfunktion) auf, um den optimalen Preis zu berechnen, der den Gewinn maximiert.

Quadratische Gleichungen werden beispielsweise gebraucht, um die Flugbahnen von Geschossen zu berechnen – wie bei dieser Boden-Luft-Rakete MIM-104 Patriot, einer häufigen Rakete der US-Armee.