Читать книгу Big Ideas. Das Mathematik-Buch - John Farndon - Страница 9

GLEICHE SUMME IN ALLE RICHTUNGEN

MAGISCHE QUADRATE

IM KONTEXT

SCHLÜSSELZIVILISATION

Altes China

TEILGEBIET

Zahlentheorie

FRÜHER

9. Jh. v. Chr. Das chinesische I Ging (Yijing, »Buch der Wandlungen«) enthält Trigramme und Hexagramme zur Verwendung in Orakeln.

SPÄTER

1782 Leonhard Euler schreibt über lateinische Quadrate in dem 155-seitigen Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques in einer niederländischen Zeitschrift.

1979 Das erste Sudoku-ähnliche Rätsel wird in New York von Dell Magazines gedruckt.

2001 Der britische Elektronikingenieur Lee Sallows erfindet »geomagische Quadrate«: magische Quadrate, die geometrische Formen statt Zahlen enthalten.

Es gibt Hunderttausende Wege, die Zahlen 1 bis 9 in einem 3×3-Gitter zu verteilen. Nur acht ergeben ein magisches Quadrat, in dem die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonale den gleichen Wert – die magische Zahl – hat. Die Summe der Zahlen von 1 bis 9 ist 45, daher ist sie auch die Summe der drei Spalten bzw. Zeilen. Die magische Zahl ist demnach ¹/₃ von 45, also 15. Tatsächlich gibt es aber nur ein einziges magisches 3×3-Quadrat, da die anderen sieben nur Drehungen davon sind.

Uralte Ursprünge

Magische Quadrate sind wohl das früheste Beispiel für »Unterhaltungsmathematik«. Ihr genauer Ursprung ist unbekannt, die erste dokumentierte Erwähnung ist die chinesische Legende Lo Shu (»Schriftrolle des Flusses Lo«) von 650 v. Chr. Darin erscheint eine Schildkröte vor dem König Yu, als eine gefährliche Überschwemmung droht. Die Zeichen auf ihrem Panzer bilden ein magisches Quadrat. Dabei stehen Punkte für die Zahlen 1 bis 9. Aufgrund dieser Legende galt die Anordnung von ungeraden und geraden Zahlen (gerade Zahlen standen stets in den Ecken) als magisch und wurde als Glücksbringer verwendet.

Chinesisches Wissen breitete sich entlang der Seidenstraße aus, und andere Kulturen begannen, sich für magische Quadrate zu interessieren. Indische Texte erwähnen sie ab 100 n. Chr. und die erste dokumentierte Darstellung im Wahrsagebuch Brihat-Samhita (um 550 n. Chr.) misst Parfüm damit ab. Arabische Gelehrte, die eine wichtige Verbindung zwischen dem Wissen der Antike und der europäischen Renaissance bildeten, brachten im 14. Jahrhundert magische Quadrate nach Europa.

Ein magisches Quadrat vierter Ordnung unter der Glocke im Kupferstich Melencolia I des Nürnberger Künstlers Albrecht Dürer enthält auch das Entstehungsjahr des Werks, 1514.

Verschiedene Quadrate

Die Anzahl der Zeilen und Spalten eines magischen Quadrats nennt man die Ordnung: Ein 3×3-Quadrat hat die Ordnung 3. Ein magisches Quadrat der Ordnung 2 gibt es nicht, denn darin müssten alle Zahlen gleich sein. Mit zunehmender Ordnung gibt es immer mehr Möglichkeiten. So gibt es 880 magische Quadrate der Ordnung 4 (ohne Drehungen und Spiegelungen), ihre magische Zahl ist 34. Mit der Ordnung 5 gibt es Hunderte von Millionen magische Quadrate, und die Zahl der Ordnung 6 ist noch unbekannt.

Magische Quadrate waren zu allen Zeiten eine anhaltende Quelle der Faszination. Im 15. Jahrhundert sammelte der italienische Mathematiker Luca Pacioli, Autor von De Viribus Quantitatis (»Über die Macht der Zahlen«), magische Quadrate. Im 18. Jahrhundert erfand Leonhard Euler in der Schweiz eine verwandte Form, die lateinischen Quadrate. Sie enthalten Symbole (Buchstaben, Zahlen oder anderes), die in jeder Zeile und Spalte nur jeweils einmal auftreten dürfen.

Eine Variante lateinischer Quadrate ist heute ein beliebtes Rätsel: Sudoku. Erstmals in den 1970ern in den USA als Number Place veröffentlicht, wurden sie in den 1980ern in Japan populär. Das japanische Wort bedeutet »Ziffern kommen nur einmal vor«. Ein Sudoku ist ein lateinisches Quadrat neunter Ordnung (also 9×9) mit der Zusatzbedingung, dass auch jeder Teilbereich alle neun Zahlen enthalten muss.

»Das magisch magischste aller magischen Quadrate, das je ein Magier gemacht hat.«

Benjamin Franklin über ein von ihm entdecktes magisches Quadrat Life of Benjamin Franklin, Written by Himself, 1887

Addiert man bei einem magischen Quadrat zu jeder Zahl den gleichen konstanten Wert, so entsteht wieder ein magisches Quadrat. Ebenso kann man jede Zahl mit einer Konstanten multiplizieren und das Ergebnis ist magisch.