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Abgesehen vom umgangssprachlichen Gebrauch des Begriffes D., der eher eine Größenordnung (wie bspw. Bereich der Atome vs. Galaxien) oder auch Maßeinheiten (wie bspw. Kg, m, s) bezeichnet, verweist der mathematische Gebrauch im engeren Sinne auf die Anzahl der ↗ Freiheitsgrade, die für eine ↗ Bewegung im ↗ Raum zur Verfügung stehen. Am anschaulichsten kann das am Beispiel des dreidimensionalen euklidischen Raums (↗ Euklidik) verstanden werden, dessen Freiheitsgrade durch die drei Basisvektoren (↗ Vektor) definiert werden, die ihn aufspannen. Eine Basis ist dabei die Teilmenge eines Vektorraums V, durch die jeder beliebige Vektor in diesem Raum als endliche Linearkombination ausgedrückt werden kann. In diesem Sinne ist eine Basis zugleich ein minimales Erzeugendensystem: Die kleinste Anzahl von Vektoren, die V erzeugen, heißt ‚D. von V‘. Entsprechend dem nach Max A. Zorn (1906–1993) benannten Zornschen Lemma hat jeder Vektorraum eine Basis. Die Definition kann im Fall von reellen oder komplexen Räumen (↗ mathematische Räume) mit einem Skalarprodukt, sog. Prä-Hilberträumen, auch auf unendliche Summen von Basisvektoren ausgedehnt werden. Es gibt hierbei fundamentale Zusammenhänge mit metrischen und normierten Räumen, weil das Skalarprodukt ↗ Metrik und Norm induziert. Vollständige Prä-Hilberträume heißen Hilberträume und sind für die Quantenphysik (↗ Quantum) von wesentlicher Bedeutung: Vollständigkeit heißt dabei, dass praktisch jede Zahlenfolge gegen eine bestimmte Zahl konvergiert. Insbesondere gibt es die ↗ Möglichkeit, über ganzzahlige D. hinauszugehen, wie z.B. im Fall der ↗ Geometrie der ↗ Fraktale. Hierbei wird nach der Überdeckungsmethode verfahren: Es wird die Anzahl n von ↗ Kugeln mit einem bestimmten Radiusr gezählt, die nötig sind, um eine vorgegebene Punktmenge zu überdecken. Auf diese Weise wird die Hausdorffd. D definiert, die sich aus der Mindestzahl von Kugeln bestimmt, die eine Funktion von r ist und sich umgekehrt proportional (↗ Proportion) zur Größe R^D verhält. Es ist bemerkenswert, dass mehrere charakteristische D. vom fraktalen Typ zugleich Zahlen sind, die eine wesentliche Rolle in solchen Symmetriegruppen (↗ Symmetrie) spielen, welche immanente geometrische Gesetze der ↗ Harmonie zu bestimmen scheinen. Die am häufigsten genutzten ↗ Räume sind dreidimensional oder vierdimensional (↗ Raumzeit). Bei ↗ Phasenräumen steigt die Zahl der D. explosiv an, weil hierbei die Freiheitsgrade mit der expliziten Zahl der Teilchen multipliziert werden, die in Frage stehen. Mitunter wird um die geometrische Darstellung höherdimensionaler Räume gerungen, die in der Physik im Zusammenhang mit der Erforschung möglicher, vereinheitlichter Feldtheorien eine besondere Relevanz gewonnen haben: Berühmt ist der klassische Vorschlag Theodor Kaluzas (1885–1954) und Oskar Kleins (1894–1977), Gravitationsfelder und elektromagnetische ↗ Felder in der Physik in einer Theorie der fünfdimensionalen Gravitation (↗ Kraft) zusammenzuführen. Dieser Ansatz gibt Anlass zur späteren Entwicklung der Superstringtheorie (neuerdings M-Theorie), die bis auf elf D. führt, von denen vier die traditionellen des physikalischen Anschauungsraums sind (↗ Bulk). Dieser Ansatz ist zwar einfach und elegant, vermutlich aber falsch, weil eine ↗ Theorie, welche bereits Raumd. vorgibt. Deshalb verfährt der plausiblere Ansatz der Schleifen-Quantengravitation, der auf ein früheres Modell von Roger Penrose (2010) zurückgeht, gerade umgekehrt und beginnt mit einer nichträumlichen, rein kombinatorischen ↗ Struktur, aus der Raum und ↗ Zeit überhaupt erst abgeleitet werden sollen. Gleichwohl liegt gegenwärtig noch keine geschlossene Theorie dieser Art vor.

Literatur: Kauffman 1995; Prigogine 1998; Smolin 1999.

Green, Michael B./Schwarz, John H./Witten, Edward (²1988): Superstring Theory, 2 Bde., Cambridge.

Kauffman, Louis H. (1995): Knoten, Heidelberg [engl. 1991].

Kendall, Maurice G. (1961): A Course in the Geometry of n Dimensions, London.

Penrose, Roger (2010): Der Weg zur Wirklichkeit, Heidelberg [engl. 2004].

Prigogine, Ilya (1998): Die Gesetze des Chaos, Frankfurt a.M. [ital. 1993].

Smolin, Lee (1999): Die Evolution des Kosmos, München [amerik. 1997].

Thom, René (1975): Structural Stability and Morphogenesis, Reading [frz. 1972].

Wesson, Paul S. (1998): Space-Time-Matter, Singapur u.a.

Zimmermann, Rainer E. (2004): System des transzendentalen Materialismus, Paderborn.

Rainer E. Zimmermann